第54届IMO试题解答.pdf

20 中等数学 第54届IMO试题解答 中圈分类号：G424．79文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2013)09～0020—08 1．证明：对于任意一对正整数k,n，均存在 【注】△ABC的顶点A所对的旁切圆是 k个(允许相同)正整数m，，m,2，…，帆，使得 指与边BC相切，且与边AB、AC的延长线相切 的圆．顶点曰、C所对的旁切圆可类似定义． 、 ，，、 编， 、 ‘， ，+丛rt=(，+斯m+抄(，+封m 4．设△ABC为一个锐角三角形，其垂心 2．平面上的4027个点称为一个“哥伦 为日，设形是边BC上一点，与顶点B、C均不 比亚式点集”，其中任意三点不共线，且有 重合，肘和Ⅳ分别是过顶点B和C的高的垂 2013个点为红色，2014个点为蓝色在平足．记△BWN的外接圆为圆∞。，设X是圆1．0， 面上画出一组直线，可以将平面分成若干区 上一点，且WX是圆∞，的直径．类似地，记 域．若一组直线对于一个哥伦比亚式点集满 △CWM的外接圆为圆tO：，设y是圆tO：上一 足下述两个条件，称这是一个“好直线组”： 点，且盱是圆∞：的直径．证明：X、y、日三点 (1)这些直线不经过该哥伦比亚式点集 共线． 中的任何一个点； 5．记Q+是所有正有理数组成的集合． (2)每个区域中均不会同时出现两种颜 设函数^Q+_R满足如下三个条件： 色的点． (1)对所有的x,y∈Q+，均有 求k的最小值，使得对于任意的哥伦比亚 八,OAr)醐叫)； ① 式点集，均存在由k条直线构成的好直线组． (2)对所有的x,y∈Q+，均有 3．设△ABC的顶点A所对的旁切圆与 边BC切于点A。．类似地，分别用顶点B、C (3)存在有理数口1，使得．厂(口)=n． 所对的旁切圆定义边CA、AB上的点曰，、c卜 证明：对所有的并∈Q+，均有八戈)=茗． 假设△A。B。C。的外接圆圆心在△ABC的外接 6．设整数n≥3，在圆周上有n+1个等 圆上证明：△ABC是直角三角形． 分点．用数0，l，…，rt标记这些点，每个数字 则FN：FG=3：11。FM：FH=3：13． 【结论】若要将长方形ABCD(或正方形) FN：FG=虿rt：(2凡一1)， 的长和宽2n一1等分、2忍+1等分，边AD、AB 的中点分别为F、E，联结DE；在边BC上截 FM：朋=号：(2乃+1)． 过M、N分别作AD、AB的平行折痕即可 ac=c日=(等pc，联结FG、朋，与肋 17,等分长方形的长和宽． 的交点分别为Ⅳ、胞则 万方数据 竺!!竺竺!塑 c !! 恰用一次．考虑所有可能的标记方式．若一种 证法2考虑n一1和一n模2‘的余数 标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋 的二进制展开． 转得到，则认为这两种标记方式是同一个．若 n一1兰2。1+242+…+2～(mod2‘)， 对于任意满足a+d=b+C的四个标记数 其中，0≤8la2…a，≤七一1； abcd，联结标a和d的点的弦与联结