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* 计算物理基础 * 这是一个十分重要的定理,表明一个有限带宽的信号所包含的信息较之一个一般的连续函数是非常小的.在通常情况下,物理上遇到的信号都是有限带宽的.在这种情况下,只要取取样间隔小于或等于二倍最大频率的倒数,则可以完整的得到这一信号所包含的信息. 附录1 快速傅立叶变换 * 计算物理基础 * 2.如果一个信号不是有限带宽的或者Nyquist临界频率fc小于信号的最大频率,则出现波形重叠现象.当一个信号进行离散取样后,消除波形重叠几乎是不可能的,克服这一困难的方法是:首先找到信号的自然带宽或者先用某种方法 附录1 快速傅立叶变换 * 计算物理基础 * 对信号进行滤波,把信号限制于一频率间隔内,然后由最大频率确定取样间隔. N个数据点hk的离散傅立叶变换: 附录1 快速傅立叶变换 * 计算物理基础 * 逆变换为 连续傅立叶变换在离散点上的值为: 附录1 快速傅立叶变换 * 计算物理基础 * 快速傅立叶变换: 对N个数据点做一次傅立叶变换需要计算N*N乘法加上形成矩阵所需的计算次数.1965年IBM公司提出一个离散傅立叶变换的快速算法.把计算量从N*N降低到Nlog2N.为了看出这一改进的重要意义. 附录1 快速傅立叶变换 * 计算物理基础 * 考虑一个N=524288的离散傅立叶变换,这一变换用快速方法在486计算机上需要60秒.如果直接计算需要20天. Danielson-Lanczos定理 一个N点的离散傅立叶变换可以写为两个N/2点的离散傅立叶变换只和. 附录1 快速傅立叶变换 * 计算物理基础 * 附录1 快速傅立叶变换 * 计算物理基础 * 附录2 特殊函数的计算 在数值计算中,经常要求一些函数的值,一些常用的初等函数如三角函数,e指数函数,双曲函数,对数函数,均已写入计算机语言定义做为内部函数.在使用时只需调用即可,而对于其它的函数和表达式则要自己计算,本节给出一些在物理计算中经常遇到的函数及表达式的计算方法和部分程序. * 计算物理基础 * 一般来说,计算机的内部函数都由专家设计的,其效率和精度都是很好的.因此如果计算机语言已经提供了所需的函数,则尽量使用这些函数,下面提供的方法仅仅作为计算机不提供这些函数的补充. 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 2.3.1多项式的求值和级数求和 所谓多项式是指由下式给出的表达式 用c(n)来表示多项式的系数可以直接用FORTRAN写出算式为 P=c(0)+c(1)*x+c(2)*x**2…… 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 前面已经讲过这种算法效率不高,较好的算法是: P=c(0)+x*(c(1)+x*(c(2)+x*(c(3)+x*…))) 当n较大时,可利用数组.采用下面的语句 p=c(n) Do 11 j=n-1,1,-1 P=p*x+c(j) 11 end do 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 在科研中,还常常遇到级数求和的问题: 我们当然不能计算到无穷多项,所以上述级数必须在某处截断.如果级数收敛很慢,就要计算很多项,一方面占用大量的CPU时间,更重要的是当计算的项数非常多时,舍入误差的积累可能完全破 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 坏整个计算.为此必须使用加速收敛的技巧.Aitken算法是常用的加速技巧之一.它是对相邻的三个部分和进行处理,得到一个更好的近似.记部分和为 则由Sn-1, Sn, Sn+1可计算出 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 一般S’更好的收敛于S.采用递推的方法求的S的值 Euler变换 对于下式定义的交错级数 Us0 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * Euler变换是一个强有力的算法 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 2.3.2连分式求值 连分式是指由下式给出的表达式 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 由于连分式只能从右向左求值,因此在具体计算之前,很难判断一个无限连分式应该从那里截断,一种直接的方法就是猜一个截断点,求出一个值,再猜一个更大的截断点来计算.通过比较不同截断处的结果来判断是否收敛.这显然不是一个好的办法.另一种在实践中常用的方法是用一个分式有理式来近似连分式 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 分式,用fn表示计算得到an和bn连分式的值,则 Fn达到一定的精度就进行截止. 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 这里An和Bn由下列递退关系给出 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * Γ函数: 如果Z为一整数,则有n!=Γ(n+1) Γ函数满足以下递推公式 Γ(z+1)=zΓ(z) 附录2 特殊函数的计算 * 计算物理基础 * 如果已经知道了Γ函数在Re(z)1的值