新湘教版八年级数学上册线段的垂直平分线 .ppt

线段的垂直平分线 本课内容 本节内容 2.4 湘教版八年级数学上册 学习目标 1.掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理； 3.运用尺规作图作出一条线段的垂直平分线； 2.理解线段垂直平分线的性质定理与判定定理的 联系与区别； 观察 如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？ 我发现 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图. 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 如图，在线段AB的垂直平分线l 上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？ 探究 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 结论 由此得出线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何语言表示： 如图：己知直线l垂直平分线段AB，垂足为O, 点P为直线l上任意一点。 A B O l P ∵l垂直平分线段AB，垂足为点O， 点P为l上一点； ∴PA=PB (1)当点P在线段AB上时，如右图所示： 因为PA=PB， 所以点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. 动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 分析： A B P l (2)当点P在线段AB外时，如右图所示. 因为PA=PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 设P点和A，B两点的距离相等，因而?PAB是等腰三角形，作∠APB的平分线PC（由折叠得到），从而PC底边AB上的高，也是它的中线，即PC垂直AB，且AC=BC， 因此PC是线段AB的垂直平分线．此时点P也在线段AB的垂直平分线上。 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． A B P C l 反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA和PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 因为l是线段AB的垂直平分线，从而点A与点B关于直线L对称，于是沿l折叠时点A与点B重合，又P在对称轴l上，所以PA＝PB． 线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． A B P C l 结论 由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言表示： 如图：己知直线l交线段AB于点O,点P为直线l上任意一点，且PA=PB. A B O l P 判 定 ∵点P为l上一点,PA=PB; ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 1、如图,线段MN被直线AB垂直平分,图中有哪些相等的线段? 基础练习： EM=EN FM=FN BM=BN OM=ON 新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！ 例 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平 分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 举 例 证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 练习 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数. 答：∠CAE=50°. 2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 AB与CD相交于点O ∴ AO=BO. 应用举例: 例1。如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周长为23,且BM=7,求BC的长。 C B M N A 解:∵ MN是线段BC的垂直平分线