博士数学论坛原创高代部分总结(初稿).pdf

高代总结 禹帆 1 高代总结 一. 标准型方法: 变换理论的两大方法之一。对于一个命题将它关联到一个变换理论,至于哪一种变换当然 看命题里的量是否在该种变换下不变，即找变换下的不变量。其方法分两步,先对标准型 验证或证明命题成立,再用变换将命题推广到(过渡到)一般情形。 例子：（1）矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩=不为零子式的最高阶数。（先证相抵 I r 0 标准型 成立，再用初等变换过渡）  0 0 （2 ）正定矩阵有正定的平方根矩阵。（先看对角矩阵，再用正交相似变换过渡） （3 ）任一矩阵有列满秩阵与行满秩阵的乘积分解。（即矩阵的满秩分解） （先分 I r 0 解相抵标准型  ，再用初等变换过渡）  0 0 （4 ）特征值互异的方阵Ａ,与Ａ交换的矩阵必然是Ａ的多项式。（它在相似变换下 的标准型说法就是：当对角矩阵对角元素互相不同时，与它交换的矩阵只能是对角矩阵。 所以先单独证明这个命题，再用相似变换过渡到一般情形） 二 不变量方法 变换理论的两大方法之二。主要用于证明两个方阵可以或不可以相互变换。例如不相 似、不合同, 以及正定性判断,求特征值等。此外一些计算也常用不变量方法。相抵的完 全不变量是秩，相似的完全不变量是初等因子，不变因子，行列式因子 。相似不变量 有：行列式秩③迹④特征多项式和特征值⑤交结数 例如：1）行列式等于特征值乘 积；2 ）线性方程组有解等价于两个秩相等。总的来说是一句话，尽量把命题、事实用 不变量来描述。 (注:其实标准型方法和不变量方法不可分，总是要把一个命题和一种变换联系起来。所 以着眼于变换类型，有几句： １，如果条件结论只有乘法和秩条件，肯定是初等变换理论，可以考虑初等变换法。 ２，如果条件中有多项式（没有对称、反对称），可以用相似变换化简为对角型或Jordan 标准型。 ３，如果又有对称矩阵，又有多项式，只能用正交相似变换。 ４，对于可交换问题，可以用相似变换或者正交相似变换。 ５，对于对称矩阵，如果结论是正负定或者行列式大于小于0，考虑用合同变换。 ６，如果一个公式等式两边没有逆矩阵，也没有行列式在分母上，则可以考虑扰动方法， 先对可逆矩阵情形证明，再取极限到不可逆矩阵。) 2 三 矩阵语言中的六大基本方法 矩阵分块的方法 初等变换的方法 ③降阶和升价的方法 ④运用标准单位向量的方法 ⑤运用特征值的方法 ⑥运用矩阵标准型的方法 核心的思想方法是降阶（打洞！！！） 降阶的基本思想很简单，即把高阶矩阵问题通过打洞等技巧化为低阶矩阵问题。实现这一思 想的步骤，是将原矩阵A 用若干初等变换化为分块上（下）三角阵： A1 A2  A1 0      或  0 A  A A   3   3 2  A diag {A ,A ,...,A } A 分块对角矩阵 ， 没有公共的特征值，则与A 交换的矩阵B 也 1 2 s i 必然也是分块对角矩阵。换言之，当把A 按特征值分块的时候与A 交换的矩阵B 也就同时 被分块了。 A diag {A ,A ,...,A }  A 分块对角矩阵 可逆 它的主对角线上的每个子矩阵 都可逆， 1 2 s i 且逆矩阵A1 diag {A1,A1,...,A1} 。