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第12卷第2期 天津职业院校联合学报 No．2V01．12 2010年3月 Journalof VocationalInstitutes Mar．2010 Tianjin 函数连续性的几个问题 曹 媛 (天津海运职业学院，天津市300457) 摘要： 函数的连续性和可微性是微积分的基本概念，维尔施特拉斯用￡、艿这种静态的有限量刻划了动态的无 限量，给出了函数连续性的现代定义，并用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。典 型函数如狄里克雷函数在实数域上每一点都不连续，而黎曼函数在每一无理数点上连续。在每一有理数点上不连续。 基本初等函数与初等函数的连续性有定叉域和定义区间的区别，一些初等函数的定义域是一些离散的点，因此，初等 函数只能在其定义区间内连续。 关键词： 函数；连续性；可微性；典型函数；定义域；定义区间 中图分类号：0174文献标识码：A 文章编号：1673—582X(2010)02—0078一03 一、函数的连续性和可微性 函数的连续性和可微性是微积分的基本概念。“连续函数”在直观上是函数曲线没有间断，连在一起，而“函数在 一点可导”直观上是函数曲线在该点有切线，所以在直观上连续与可导有密切的联系。认为连续函数一定可微，对于 学过数学分析的学生来说是常识性的错误。然而，在微积分建立之初，几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微 的。最早明确区别函数连续性和可微性的例子，出现在德国大数学家黎曼1854年的论文中。 1817年波尔察诺为了发表他的论文。需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺开始对函数性质仔细研究， 并用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义： 定义函数连续性的现代方法一e一占非常类似。 维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义： 连续。 魏尔施特拉斯用￡、艿这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有争议的概念，又消除了波尔 察诺定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。 波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别，明确地以几何形式(1830年)给出了区别连续性和可微性 的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上 第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。 Y ∞ 1 厂(z)=∑扩cos(口对嬲)其中口为奇整数，6∈(o，1)，ab1+÷，r 1 n2l， 二 ………．．．………● …………………… 魏尔施特拉斯的这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分 说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。 X ………………一-6’ 连续性与可微性差异的重大发现，标志着人类对函数认识的进一步 深化。 图1 收稿日期：2009—10—26 作者简介：曾媛(1983一)，女，天津市人，天津海运职业学院助教，主要从事数学教学。 ·78· 万方数据 二、典型函敛的连续住 1．狄利克雷函数 D(z)：』1z∈Q 10 zeQ，xER 由函数极限的定义很容易看出狄里克雷函数在实数域上每一点左右极限都不存在，即处处无极限。所以狄里克 雷函数在实数域上每一点都不连续，不可微，每一点都属于第二类间断点。 2．黎曼函数 定义在区间Fo，1]上的函数 R(z)：』寺z2予(p，q∈N一号为既约真分数)称作黎曼函数。