2.3.1直线与平面垂直的判定(天地英豪版0).ppt

1．直线与平面垂直的定义 4．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题 知识小结 2．直线与平面垂直的判定 线线垂直 线面垂直 3．直线与平面所成的角的求法 2.3.1直线与平面垂直的判定 天地英豪版 回顾旧知：空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？ （3）直线与平面相交 α a α A a a α （1）直线在平面内 （2）直线与平面平行 知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象。 旗杆与地面有怎样的位置的关系？ 大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象。 大桥的桥柱与水面的位置关系？ A B C 思考：如何定义一条直线 与一个平面垂直？ A B C A B C A B α 内任意一条直线 α AB ⊥ C 直线与平面垂直的定义： 垂足 直线l的垂面 文字表示： 如果一条直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.记作 平面 的 垂线 图形表示： P l 深入理解“线面垂直定义” 判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例） 1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ） 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ ) b a b a b a 知识探究（二）：直线与平面垂直的判定定理 思考：是否把平面中的直线一一找出，才能 证明直线与平面垂直？ 所以我们希望用直线垂直平面内尽可能少的 直线来证明线面垂直 探究活动：请同学们拿出一块三角形的纸片，做以下试验： 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）. (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面肯定垂直？ B D C A B1 D1 C1 A1 A1 B1 D1 C1 A B C D A B C D A1 B1 D1 C1 当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直． （1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 ，翻折之后垂直关系不变， ， ．由此你能得到什么结论？ 思考5 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. P m n l 线线垂直 线面垂直 关键：线不在多，相交则灵 无限问题 有限问题 空间问题 平面问题 例1.如图，已知OA、OB、OC 两两垂直 （1）求证：OA⊥平面OBC （2）求证：OA⊥BC B C O A 例题示范,巩固新知 证明(1) (2) 例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD是与AC 异面的体对角线. 求证：AC⊥BD A B D C A′ B′ C D ′ ′ 证明：连接BD 因为正方体ABCD-ABCD 所以DD‘⊥平面ABCD 又因为 所以 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD∩BD=D 所以AC⊥平面DDB 所以AC⊥BD A B D C A′ B′ C′ D′ 例3.如图，已知a∥b、a⊥α. 求证：b⊥α. 例题示范,巩固新知 a b m n 根据直线与平面垂直的定义知 又因为 所以 又 是两条相交直线， 所以 证明：在平面 内作 两条相交直线m，n． 因为直线 ， （线面垂直 线线垂直） （线线垂直 线面垂直） 例3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC. P A B C D 如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？ 答：底面四边形ABCD对角线相互垂直． 探究 前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？ 问题提出 直线与平面所成的角 线面角相关概念 α P 斜线PA和射影AB的夹角?PAB即为PA与平面?所成的角 l 平面的斜线 A 斜足A 斜线PA在平面内的射影 垂足B B 平面的垂线 1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角 2.平面的垂线与平面所成的角为直角 3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面