2.3.1直线与平面垂直的判定.ppt

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象. 桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象. 思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系. A B α 1.旗杆所在的直线始终与 影子所在的直线垂直. 2.事实上，旗杆AB所在直线与 地面内任意一条不过点B的 直线也是垂直的. A B α C B B1 C1 ? 直线和平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 l 与平面 互相垂直.记作 . ? l 平面的垂线 直线的垂面 A 垂足 直线和平面垂直的画法 α P 注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直。 l 思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？ 不一定 如图： B C B C l 对定义的认识 ①“任何”表示所有. ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③? 等价于对任意的直线 ，都有 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质. 请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所 示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）. A B C D 思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ 当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直. B D C A BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD, 直线AD所在的直线与桌面垂直 m n P 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线和平面垂直的判定定理 m n P 符号表示： “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少 简记为：线线垂直 线面垂直 定理补充 例1 如图，已知 求证： 直线m，n． 证明：在平面 内作两条相交 分析：在平面内作两条相交直线. 因为直线 根据直线与平面垂直的定义知 又因为 所以 又 是两条相交直线， 所以 结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另 一条也垂直于这一个平面. V A B C . D VA= VC，AB=BC, ABC V - 求证: VB ⊥AC. 中， 在三棱锥 1. 如图， 练习： 提示：找AC中点D,连接VD,BD 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线和平面垂直的判定定理 m n P 符号表示： 简记为：线线垂直 线面垂直 探究：如何求直线与平面所成的角？ O P A α 斜线 斜足 线面所成角 （锐角∠PAO） 射影 关键：过斜线上一点作平面的垂线 线面所成的角 一条直线垂直于平面， 它们所成的角是直角. 一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角. 特别说明： 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内 的射影,就可以求出A1B和 平面A1B1CD所成的角. A1 B1 C1 D1 A B C D O 1. 已知：正方体中，AC是面对角线， BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′ A B D C A′ B′ C D ′ ′ ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD′⊥正方形ABCD 证明：连接BD A B D C A′ B′ C′ D′ ∵AC、BD 为对角线∴AC⊥BD ∵DD′∩BD=D ∴AC⊥平面D′DB 且BD′?面D′DB ∴AC⊥BD′ 直线与平面垂直 判定定理及应用 定义 直线与平面所成的角 转化思想：线面垂直 线线垂直 定义 判定定理