2.4欧拉运动方程及其积分.ppt

实际流体都是有粘性的，涡强是会随时间变化的。不过空气的粘性很小，机翼上的涡随着气流流下去，离机翼很远之后它对机翼的作用就趋于零了，而在离机翼不太远的范围内，粘性使涡强的衰减并不很显著，所以计算涡对机翼的作用时，可以不必考虑粘性的衰减作用，当作它在理想流中强度不衰减去处理就行了。 §2.5.3 理想流中的涡定理 陆龙卷 本章基本要求 了解两种描述流场的方法的区别与特点，重点掌握欧拉法下加速度的表达和意义 掌握流体微团的几种变形和运动及其数学表达，掌握流体微团的运动分解与刚体运动的异同； 了解系统分析方法与控制体分析方法的区别与联系，掌握雷诺输运方程的表达及意义； 空气动力学基本方程是本章重点:微分形式方程要重点掌握连续方程、欧拉方程和能量方程的表达和意义；掌握微元控制体分析方法；掌握伯努利方程的表达、意义、条件和应用； 重点需要掌握的概念：流线、流量、散度、旋度、速度势函数、流函数、环量与涡的表达、意义及其相互之间的关系. 在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计粘性力，表面力就没有切向力，仅有法向力（压力）一种，而彻体力是可以有的 。 x y z ·P dx dy dz 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 2.4 欧拉运动方程及其积分 2.4.1 欧拉运动方程 六面体体积：dτ=dxdydz 中心点坐标： x ,y ,z 中心点速度： vx ,vy ,vz 中心点加速度： 中心点压强：p 中心点密度：ρ 中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fz x y z ·P dx dy dz 2.4.1 欧拉运动方程 x方向的表面力为： x 方向的彻体力为： 牛顿定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得 2.4.1 欧拉运动方程 两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代入加速度的表达，得 同理可以写出 y 和 z方向的表达： 这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程。 2.4.1 欧拉运动方程 欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关系。如果在欧拉运动方程中考虑粘性项 欧拉方程的向量形式为： 2.4.1 欧拉运动方程 向量形式 2.4.1 欧拉运动方程 理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的迁移部分改写一下，把迁移加速度部分改写一下： 式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子： 得如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯－兰姆方程”： 该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋流动。 2.4.1 欧拉运动方程 直匀流对机翼的绕流 例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压 p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0，VB =150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的ρ=1.255千克/米3 。假设流动无旋，求A、B、C三点的压强。 2.4 欧拉运动方程 于是： 解: 流动无旋，伯努利常数全流场通用。由远前方条件得： 2.4 欧拉运动方程 2.5 环量与涡 2.5.1 环量与涡的概念 研究流动的问题，还有两个极重要的概念:环量和涡。 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。 如果把一个速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量vx ,vy,vz ,把线段ds也分解成dx, dy, dz 三个方向： 沿曲线AB作速度的线积分 沿闭曲线速度的线积分 于是环量表达式为： 2.5.1 环量与涡的概念 如果流动是无旋的， 存在速度势函数Φ， 那末上式中的 vx ,vy,vz都可以用Φ的偏导数表达： 说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。 2.5.1 环量与涡的概念 旋转轴线都按右手定则确定。 涡量概念 是指流场中微团角速度之二倍，如平面问题中的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。 在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度 ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是： § 2.5.1 环量与涡的概念 像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）： 涡线 给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的