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第一章 三角函数 钱塘江一线潮 由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象。 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1.1.1 任意角的概念 1、角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 初中学过的角的范围是：0o至 360o。 然而生活中有很多实例的角会不在该范围： 体操运动员转体720o（即“转体2周”），跳水运动员向内、向外转体1080o （“转体3周”）； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子中有的角不仅不在范围：0o至 360o ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。 2．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α． 旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“零角” 我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0o）．此时零角的始边与终边重合。 角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为： α. 如∠α=-1500 ， α=00， α=6600 等等…… ⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 ① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转. 3．象限角 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角） 例1：30?、390?、?330?是第几象限角？ 4．终边相同的角 ⑴ 观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和： 390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1) 30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4) ?1770?=30??5×360? (k=－5) ⑶ 结论： 所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360o， k∈Z} 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和。 ⑷注意以下四点： ① k∈Z， K 0，表示逆时针旋转， K 0,表示顺时针旋转. ② ?是任意角； ③ k·360o与?之间是“+”号，如k·360o－30o,应看成(－30o)+ k·360o ； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360o的整数倍. 所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360o， k∈Z} 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和。 例2. 在0o~360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) －120o；(2) 640o；(3) －950o12′. 解：⑴∵－120o=240o+（-1）×360o， ∴ －120o的角与 240o的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640o=280o+1 × 360o， ∴ 640o的角与 280o的角终边相同， 它是第四象限角． 即：[00,3600) 例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360o~