2014高中数学 第二章 解三角形整章导学稿 北师大版必修5.doc

第二章 解三角形 §1.1正弦定理（一） 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 1.在初中，我们已学过如何解直角三角形，如图： （1）若C=300，BC=4，则B=____,AB=_____,AC=______； （2）若C=200，AB=5，则BC=________，AC=___________。 （用三角表示即可） 2.在直角三角形ABC中，A=900，则sinC=_________ ，cosC=________。 3.猜想直角三角形中，角和边之间的数量关系： 如图，在RtABC中，A=900，设BC=a，AC=b，AB=c，尝试推导角与边的等式关系. （提示：根据锐角三角函数中正弦函数的定义） 一．（师生合作）推导正弦定理 根据自主探究，在直角三角形中有，那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 【推导方法一】 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义， 有CD=，则， 同理可得， 从而． 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试一试。 【推导方法二】 阅读课本45页，理解 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 ． 理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，； （2）等价于 ，，． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如； ． 二．正弦定理的应用 例1. 在中，已知，，cm，求b,c和C （一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形） 练一练：在中，已知，，cm，解三角形． 例2. 在中， ,解此三角形. 练一练：在中，，解此三角形. 1.在中，一定成立的等式是（ ）． A． B. C. D. 2.已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ． 3. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（ ）. 　A．1∶1∶4 B．1∶1∶2　 C．1∶1∶ D．2∶2∶ 4. 已知ABC中，，则= ． 1. 正弦定理： 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边； ②已知两边和其中一边的对角． 　 1. 在ABC中，若，则与的大小关系为A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定中，若，则是（ ）. A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3. 已知ABC中，A，，则= ． 4. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形． 5. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为． §1.1正弦定理（二） 1.正弦定理及其拓展. 2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数. 3.三角形面积公式推导及应用. 1.正弦定理:___________________，正弦定理的变形公式：_______________________. 2.在中,已知,求和。 3.课本48页图2-7(1)所示,在中,斜边是外接圆的直径(设外接圆的半径为)因此.这个结论对于任意三角形(图2-7(2),图2-7(3))是否成立?试一试。 4.在中,,则的面积.对于任意,已知及,则的面积成立吗? 探究一 利用正弦定理判断三角形解的个数 （1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解. （2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a,b和∠A时，解的情况如下：. ∠A为锐角 ∠A为钝角或直角 图　形 关系式 ①a=bsinA ２a≥b bsinAab absinA ab a≤b 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解 例1.在中,角所对的边分别为.若,,,求角 探究二 面积公式的应用 三角形的面积：（1）S=aha（ha表示边a上的高）；（2）S=a