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作业讲评 实二次型及其标准形 * * * * 一. 2. 若?是A的特征值, 则 是A*的特征值. 二.1. 六. 设A2 – 3A + 2E = 0, 证明A的特征值只能取1或2 证明: 若?是A的特征值, 则?2 - 3? + 2是A2 -3A +2E的特征值, 即?2 - 3? + 2是零矩阵O的特征值,从而?2 - 3? + 2 = 0, 故?只能取1或者2. 七. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求 解: 一. 实二次型及其矩阵表示 实二次型 定义1. 设x1, x2, …, xn 是n个变量，称关于x1, x2, …, xn的二次多项式 : 为这n个变量的一个实二次型。 其中ai,j皆是实数, 并约定当i ? j时ai,j = aj,i 2. 实二次型的矩阵表示 例1. 把下列二次型表示成矩阵的形式 解： 二.矩阵的合同变换与二次型 1. 线性变换与二次型 设f(x1, x2, …, xn) = XTAX是一个实二次型, 其中A是一个n阶实对称方阵, XT = (x1, x2, …, xn) 设P是一个n阶实可逆方阵，在线性变换X = PY之下， 核心问题: 如何选择可逆方阵P, 使得: 即, 如何选择可逆方阵P, 使得: 2. 矩阵的合同变换 定义2. 设A和B是两个n阶实对称方阵，若存在一个n阶的实可逆方阵P，使得B=PTAP则称矩阵B与A合同，或称B与A相和。 合同关系: 自反性; 对称性; 传递性. 等价关系 三. 实二次型在正交变换下的标准形 定理：若A是一个n阶实对称方阵，则存在n阶正交矩阵P，使得PTAP成为一个对角矩阵? = diag(?1, ?2, …, ?n) 其中对角线上的数字恰好是矩阵A的特征值，称该对角矩阵为矩阵A在正交变换下的标准形; 而把关于变量Y的二次型?1y12 + ?2y22 + … + ?nyn2称为二次型XTAX在正交变换之下的标准形，其中X=PY。 证明：（归纳法） 显然，当n = 1时定理成立。 设n = k时定理成立;下面证明n = k + 1定理依然成立。 设?1是实对称方阵A的一个特征值，p1是A的与之对应的一个单位特征向量。 选取另外k个k + 1维向量q1, q2, …, qk，使得p1, q1, q2, …, qk构成Rk+1空间的一组标准正交基。 记P1 = (p1, q1, q2, …, qk) ,显然P1是一个k + 1阶的正交方阵。 注意： AP1 = (?1p1, Aq1, Aq2, …, Aqk) 记： 由于P1TAP1 = 仍是一个实对称方阵, 所以*必然一个k维0行向量，A1是一个k阶实对称方阵。 依据归纳假设，存在k阶正交方阵Q, 使得QTA1Q = diag(?2, ?2, …, ?k+1) 构造k + 1阶正交方阵 显然有： = diag(?1, ?2, …,?k+1) 记P = P1P2， 显然P依然是一个k+1阶正交方阵 满足PTAP = diag(?1, ?2, …,?k+1) 证毕 推论: 设A为n阶实对称方阵, ?是A的特征方程的k重根, 则与?对应的、线性无关的特征向量恰有k个。也就是说方阵A - ?E的秩恰好等于n – k. 例2.在正交变换之下求下列二次型的标准型 . 解： 首先把二次型写成矩阵的形式 然后求该对称矩阵的特征值 该方阵的特征值为3，3，6，6; 在正交变换X = PY之下该方阵的标准形为diag(3, 3, 6, 6); 该二次型的标准形为:3y12 + 3y22 + 6y32 + 6y42. 为了确定正交方阵P,我们需要再求方阵A的特征向量. 解方程组： 得方阵A关于特征值3的特征向量: 解方程组： 得方阵A关于特征值6的特征向量: * *