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2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验02
2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验02
一。单项选择题。(本部分共5道选择题)
1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ).
A.球的三视图总是三个全等的圆
B.正方体的三视图总是三个全等的正方形
C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析 画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆.
答案 A
2.若直线a∥直线b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.一定平行 B.不平行
C.平行或相交 D.平行或在平面内
解析 直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为D.
答案 D
3.已知函数f(x)=则f(2012)等于( )
A.-1 B.1
C.-3 D.3
解析: f(2012)=f(2009)=f(2006)=……=f(2)=f(-1)=2×(-1)+1=-1.
答案: A
4.给定函数①y=x,②y=log12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析: ①y=x为增函数,排除A、D;④y=2x+1为增函数,排除C,故选B.
答案:B
∵f(x)在[0,1]上单调递减,∴fff,
∴fff.
答案:B
5.已知偶函数y=f(x)对任意实数x都有f(x+1)=-f(x),且在[0,1]上单调递减,则( )
A.fff
B.fff
C.fff
D.fff
解析:由条件知f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴f(x)是周期为2的周期函数,∵f(x)为偶函数,
∴f=f=f=f,
f=f=f,
f=f=f=f
二.填空题。(本部分共2道填空题)
1.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________.
解析 设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2πr·2r=4πr2,设球的半径是R,则球的表面积是4πR2,根据已知4πR2=4πr2,所以R=r.所以圆柱的体积是πr2·2r=2πr3,球的体积是πr3,所以圆柱的体积和球的体积的比是=3∶2.
答案 3∶2
2.设f(x)=则f(f(-2))=________.
解析:因为f(x)=又-20,
∴f(-2)=10-2,10-20,f(10-2)=lg10-2=-2.
答案:-2
三.解答题。(本部分共1道解答题)
设函数f(x)=x--aln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k.问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
思路分析 先求导,通分后发现f′(x)的符号与a有关,应对a进行分类,依据方程的判别式来分类.
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=1+-=.
令g(x)=x2-ax+1,其判别式Δ=a2-4.
①当|a|≤2时,Δ≤0,f′(x)≥0.故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a<-2时,Δ>0,g(x)=0的两根都小于0.在(0,+∞)上,f′(x)>0.故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当a>2时,Δ>0,g(x)=0的两根为x1=,
x2=.
当0<x<x1时,f′(x)>0,当x1<x<x2时,f′(x)<0;
当x>x2时,f′(x)>0.故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.
(2)由(1)知,a>2.
因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+-a(ln x1-ln x2),所以,k==1+-a·.
又由(1)知,x1x2=1,于是k=2-a·.
若存在a,使得k=2-a,则=1.
即ln x1-ln x2=x1-x2.
由x1x2=1得x2--2ln x2=0(x2>1).(*)
再由(1)知,函数h(t)=t--2ln t在(0,+∞)上单调递增,而x2>1,所以x2--2ln x2>1--2 ln 1=0.这与(*)式矛盾.
故不存在a,使得k=2-a.
【点评】 本题充分体现了分类讨论思想.近几年新课标高考常考查含参数的导数问题,难度中等偏上,考生最容易失分的就是对参数的分类标准把握不准,导致分类不全等
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