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2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验29
2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验29
一.单项选择题。(本部分共5道选择题)
1.在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( ).
A.103 B. C. D.108
解析 根据题意并结合二次函数的性质可得:an=-2n2+29n+3=-2+3=-22+3+,
∴n=7时,an取得最大值,最大项a7的值为108.
答案 D
2.函数y=的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题.两个函数都是中心对称图形.
如上图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两个图象在[-2,4]上共8个公共点,每两个对应交点横坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为8.
答案 D
解析 在同一坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象,a1时,如图(1),0a1时,如图(2),故选D.
3.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图象如图所 示,则( )
A.f(x)在x=1处取得极小值
B.f(x)在x=1处取得极大值
C.f(x)是R上的增函数
D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数
解析:由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上是增函数.
答案:C
4.若如下框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于k的条件是( )
A.k=9? B.k≤8?
C.k<8? D.k>8?
解析 据程序框图可得当k=9时,S=11;
k=8时,S=11+9=20.
∴应填入k>8.
答案 D
5.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是( ).
A. B.[2,8] C.[2,8) D.[2,7]
解析 由4[x]2-36[x]+45<0,得<[x]<,又[x]表示不大于x的最大整数,所以2≤x<8
A
二.填空题。(本部分共2道填空题)
1.已知f(x)=2x3-6x2+3,对任意的x∈[-2,2]都有f(x)≤a,则a的取值范围为________.
解析:由f′(x)=6x2-12x=0,得x=0,或x=2.
又f(-2)=-37,f(0)=3,f(2)=-5,
∴f(x)max=3,又f(x)≤a,∴a≥3.
答案:[3,+∞)
【点评】 本题考查了分类讨论思想构造函数,同时利用导数的知识来解决.
2.若a是1+2b与1-2b的等比中项,则的最大值为________.
解析 a是1+2b与1-2b的等比中项,则a2=1-4b2?a2+4b2=1.
∵a2+4b2=(|a|+2|b|)2-4|ab|=1.∴=,这个式子只有当ab0时取得最大值,当ab0时,
∴===,
由于a2+4b2=1,故4ab≤1,即≥4,
故当=4时,取最大值=.
答案
三.解答题。(本部分共1道解答题)
已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程.
解析 设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),
由题意知c=3,a2+b2=9,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:
2
两式作差得:
===,
又AB的斜率是=1,
所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得
a2=4,b2=5.
所以双曲线的标准方程是-=1.
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