1.2-独立性检验的基本思想及其初步应用.ppt

在概率论和数理统计的学习中，我们涉及到小概率事件一词，下面我们就来谈谈有关小概率事件的原理及其应用。 　　 在中国五千年的文化长河中，流传着许多诸如“常在河边走，哪有不湿鞋”、“常走山路必遇虎”的谚语，典故，它体现了很强的哲学思想。 这些谚语从数学角度来讲，说的就是小概率事件。意思是：一个人如果总在河边走的话，总有一天鞋会被水弄湿的。一个人往山上走一次，遇见老虎的可能性很小，但是如果常往山上走，遇见老虎的可能性就很大，总有一天会遇见老虎的。 在实践中，人们总结到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”，这一经验称为“实际推断原理”。事实上，“小概率事件”通常是指发生概率在0.01以下或0.05以下的事件。 问题: 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。 假设“面包份量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ； “这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包份量足”矛盾的小概率事件； 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。 独立性检验 本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。 在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系： 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人） 列联表 在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。 0.54% 2.28% 探究 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 1、列联表 2、三维柱形图 3、二维条形图 不患肺癌 患肺癌 吸烟 不吸烟 不患肺癌 患肺癌 吸烟 不吸烟 0 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小. 从二维条形图能看出，吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例. 不吸烟 吸烟 患肺癌 比例 不患肺癌 比例 4、等高条形图 等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例. 等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响。常用等高条形图展示列联表数据的频率特征． 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。 现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”， 为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系. 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a b a+b 吸烟 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表 用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B). 因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a b a+b 吸烟 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量 若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。 根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为： 那么这个值到底能告诉我们什么呢？ （2） 独立性检验 在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。 也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。 思考