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CONTEST Combinatorial 名词解释：离散数学即组合数学，一般研究图论、代数结构、数理逻辑等离散对象，所谓离散即不连续。 排列数P(n,m)：从n个数中取m个数进行排列，所可能取得的情况种数。 计算公式： 引申：m个数的全排列种数为m！ 组合数C(n,m)：从n个数中取m个数所可能的情况种数 计算公式： 引申：C(n,m)=c(n,n-m) Combinatorial 鸽巢原理 也称抽屉原理。有n个鸽巢和(kn+1)只鸽子，将鸽子放进鸽巢，则至少有一个鸽巢有(k+1)只及以上的鸽子。 可用反证法证明。 实际问题中的鸽子和鸽巢往往要抽象得多，常需要根据题意自己构造。 MODEL 数列 即著名的Catalan数列。 用生成函数的知识可得它的通项公式： 常见Catalan应用： 由1和-1各n个组成的数列 满足对于任一正整数k, 该数列可能种数 n个元素的出栈顺序可能数 有n个节点的二叉树可能形态数 …… MATH MODELING 【例1】 对于一个有5个元素的数组，最少需要几次比较才能保证数组有序？ 【答案】 7次 【分析】 由于原题的解析太(看)繁(不)琐(懂)，我们引入决策树的概念来解决题目。 我们对元素进行比较时只有两个结果：a=b或ab,由此根据两个结果引发两种不同的决策，因此该决策树是二叉树。因为有5个元素，最后排列结果有5！=120种，即该决策树有120个叶子节点，因为叶子节点的深度就是所需的比较次数，而1202^6，因此深度为6次或更少的决策树叶子节点没有120个，不能确定排列顺序。故答案为7次。 对于n个元素的排列，需要比较 次 MATH MODELING 【例2】 将数组{8,23,4,16,77,-5,53,100}中的元素从小到大排列，至少需要 交换几次？ 【答案】 5次 【分析】 排列后的数组为{-5,4,8,16,23,53,77,100}。发现元素位置的变化如图： EXPERIENCE EXERSICE 在圆周上有7个点，在任两个点之间连一条弦，假设任三条弦不交于一点。问把7边形分成几个三角形 定义字符串的基本操作为：删除一个字符、插入一个字符和将一个字符修改成 另一个字符这三种操作。将字符串 A 变成字符串 B 的最少操作步数，称为字 符串 A 到字符串 B 的编辑距离。字符串ABCDEFG到字符串BADECG的 编辑距离为________。 III. 在 NOI 期间，主办单位为了欢迎来自全国各地的选手，举行了盛大的晚宴。在第十八桌，有 5 名大陆选手和 5 名港澳选手共同进膳。为了增进交流，他们决定相隔就坐，即每个大陆选手左右相邻的都是港澳选手、每个港澳选手左右相邻的都是大陆选手。那么，这一桌共有_________种不同的就坐方案。注意：如果在两个方案中，每个选手左边相邻的选手均相同，则视为同一个方案。 IV. 现有80枚硬币，其中有一枚假币，重量较轻，给你一个天平，最少需要称量几次才能找出假币？ Company name Company slogan here Company name Company slogan here WWW.COMPANYSITE.COM | INFO@COMPANYSITE.COM | +12 34 567 890 | LONG STREET 12345, CITY, COUNTRY Company name Company slogan here Company name Company slogan here WWW.COMPANYSITE.COM | INFO@COMPANYSITE.COM | +12 34 567 890 | LONG STREET 12345, CITY, COUNTRY OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB OYSB LET’S MAKE THINGS SIMPLE AND COOL 从离散数学 解析 问题求解 ——By Dirak 嵊州市城关中学 宋子健 一览 SIMPLE AND COOL WWW.SBJSHWK.COM | | +1813571145 | OYSB STREET 12345, OYSB IS MADE IN CHINA * 目 标 排