汪立民--代数课程思想方法介绍.ppt

代数课程思想方法介绍 演讲者：汪立民教授时间：2006年11月23日 本科的代数类课程有三门：高等代数，近世代数和初等数论 （暂且列入） ．本次讲座谈谈代数课的发展历史思想方法和现代研究的方向． 高等代数是数学专业一年级学生的专业基础课，是进入大学学习的数学专业学生的承上启下的课程；近世代数课程则是进一步研究学习近代数学的入门课程．代数课程在学习和掌握其中的基础理论和基本方法的同时，更重要的是学习培养抽象思维，逻辑推理和空间直观想像这三种基本的数学思维． 代数学是以数、多项式﹑矩阵和它们的运算，以及群﹑环﹑域和模等为研究对象的学科．简单地说，代数学是研究代数系统（带有一些运算的集合）的．下面从几个问题谈这门课程的几个方面． 一．公理化方法 公理化方法是数学演绎或数学思想方法的逻辑上的严谨化发展的结果，在数学理论中的概念定义和定理．命题的证明必须从一些已经被大家熟知的概念和已公认正确的结论出发，这些“约定”的概念为基本概念，“约定”公认成立的结论成为公理．基本概念和公理组成的一个逻辑体系称为某一理论的公理系统． 典型的古典平面几何﹑立体几何 就是一个公理体系．最严谨的体系是由希尔伯特在Euclid的《几何原本》基础之上完成的． 希尔伯特的几何公理体系： 基本概念﹑点﹑直线和平面，三种关系：属于，介于和合同于．第一组结合公理（关联公理﹑从属公理）共8条． 对于两点A，B，存在通过这两点的直线a； 对于两点A，B，至多存在一条直线通过这两点； 每条直线上至少有两点至少存在三点不在同一 直线上； 对于不在同一直线上的三点A，B，C，存在通过三点 的平面 ，在每个平面上至少有一个点． 对于不在同一直线上的三点A，B，C，至多 有一个平面 通过这三点； 如果直线a和两点A，B在平面 上，那么直 线a的每个点都在平面 上； 如果两个平面 ， 通过一点A，那么它们 还通过另一个点B； 至少存在四个不在同一平面上的点． 第二组顺序公理 ，共4条． 第三组合同公理，共5条． 第四组平行公理，只有一条． 第五组．连续公理，有2条． 公理化的三要素：完备性 相容性 独立性 Hilbert在所著《几何基础》中从上述5组公理出发，纯粹按照形式逻辑，不借助其它概念，方法和直观，严格地推论出欧氏几何的全部命题，使几何学成为一纯粹的逻辑演绎体系． 希尔伯特几何公理体系成为一个典范促使数学公 理化方法的形成，对20世纪的数学起了很大的推动作用． 欧氏几何中的平行公理改成罗氏公理（改成过直线外的一点可以做两条直线与该直线平行），就可以得到罗巴切夫几何． 数学公理化方法在中学数学教科书中也有体现，平面几何和立体几何都提出了基本概念和公理通过逻辑推理得到命题和定理． 欧氏几何是平面几何和立体几何．高等代数中的线性代数部分是Weyle于1918年用代数学中的向量空间（公理化）建立了几何学的向量结构． 用集合论的观点，用公理化方法建立向量空间的理论体系： 向量空间 线性相关， Ⅰ 两个运算 “+”，“ ” 线性无关，坐标，基． Ⅱ 运算法则 ① ⑧ 维数， 欧氏空间 实数域 上的向量空间，还有内积 , 长度﹑两向量的夹角， 向量的正交性． 高代课程中还有一些概念是直观定义的，没有严格公理化． 如 公理化方法是现代数学最基本的思想方法，它深刻地影响了现代社会的思想观念．社会科学中典型例子． （1）法制社会中的宪法﹑刑法以及各种法律文件是现代社会的公理体