第3章 数学中的非逻辑思维方法.doc

第3章 数学中的非逻辑思维 非逻辑思维包括形象思维、直觉思维、灵感思维和数学审美等是由。 （2）接近性联想 接近性联想是指利用形态或性质等方面接近的事物在人们思维中产生的联系，由此事物联想到彼事物的方法。其特点是：联想诱因与联想结果的意义接近，关系密切（如因果关系），联系稳固，联想的跳跃度小，过渡自然。它是逐步深入事物内部的思维方法。 在数学中，如算术根与绝对值、二次函数图像与一元二次不等式解集、极值与最值、曲线与方程等都具有性质相近的联系。 例3 设( x、y )∈R+求证: （3）对比性联想 对比性联想是指由某一件事物的认识引起对形态或性质上与其相反事物的认识的联想，又称为相反性联想或对立性联想。其特点为逆反性和对称性，数学逆向思维中也常采用这种方法。 如相等与不等、直线与曲线、有限与无限、高维与低维、数与形等等都可通过对比性联想加以沟通。 例4 求证内任意一点到面的距离之和定值贝弗里奇直觉即指突然跃入脑际而能阐明问题的思想，包括灵感、启示和突然的、预见不到的顿悟爱因斯坦直觉能力是一种思想的自由创造力数学家庞加莱：直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变得无能为力。时，是什么三角形？ 例2将正有理数写成下面的序列： 找出值是的数所在位置的号码。 （2）对数学关系的认识与概括 例3 平面上有2n+3个点，其中任意3点不共线，任意4点不共圆。求证：必定可以再其中找到3点，作一个圆，使其余2n个点中n个在圆外，n个在圆内。 例4 已知四面体P-ABC的六条棱之和为l，并且APB=BPC=CPA=900，求它的最大体积。 （3）对数学概念、原理的直接领悟 例5 对3725148这个七位数，能否变化各个数字的位置，使之成为一个七位素数？ 例6求正整数n和a1,a2, …… ， an，使a1+a2+ ……+ an=2009，且乘积a1,a2, …… an尽可能地大。 4.直觉与逻辑的关系 直觉是发现的工具，直觉的产生要以逻辑活动为前提，直觉需要逻辑的补充 5.直觉主义 20世纪初，在数学基础理论问题上，形成了三大流派，即以英国数学家罗素为代表的逻辑主义，以荷兰数学家布劳维尔为代表的直觉主义和以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义。逻辑主义认为全部数学可以化归为逻辑，因而是逻辑的一个分支，逻辑是符号体系。形式主义认为数学真理性不过是一个公理系统是否相容的问题。无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便获得承认，它便代表一种真理。直觉主义则认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断，数学认识不依赖于逻辑和经验，它的唯一来源是数学思想中固有的一种带有构造性的直觉。 历史证明，三大流派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号和语言。