段6-二次型及其标准形.pptVIP

二、二次型的表示方法 例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。 而它们所对应的标准正交的特征向量为 （4） 写出 2. 配方法 令 例3 用配方法化二次型 令 所用的可逆线性变换为 正(负)定二次型的判别 解得 A与D有相同的特征值，分别为 求得它们对应的特征向量(正交)为 再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 思考题：1、 (1) 合同且相似； (2) 合同但不相似； (3) 不合同但相似； (4) 不合同且不相似； 以上说明： 注意： 2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的. 第六章 二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵 §6.2 化二次型为标准型 §6.1 二次型及其矩阵表示 §6.3 正定二次型 本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型. 在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy 可以互化，即 则称这两个二次型等价。这相当于 即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。 我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩 阵的合同等价类。 什么条件决定两个二次型等价？ 我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价. 例如 与 不可能等价. 因为不存在可逆矩阵 C 满足 因为 定理 二次型必可化为规范形。 证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为: (思考为什么一定可化为上面形式？) 再做一次可逆的线性变换 则 f 化为 思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？ 思考并回答 (1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？ (3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？ (4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？ 惯性定理 ( P196 定理6.3.1 ) 在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数. 设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r – p . f 的规范形为 由惯性定理， 标准型非零项个数r(等于矩阵的秩），正惯性指数p；负惯性指数r-p都是由f 本身唯一确定的．不依赖所作的变换。 为正定二次型 为负定二次型 正(负)定二次型的概念 例如 证明 充分性 故 必要性 故 定理6.3.2 * * 第六章 二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵 §6.2 化二次型为标准型 §6.1 二次型及其矩阵表示 引言 判别下面方程的几何图形是什么？ 作旋转变换 代入(1)左边，化为： 见图所示. §6.1 二次型及其矩阵表示 【定义１】含有n个变量的二次齐次多项式 一. 二次型的定义： 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！ 例如： 都是二次型. 不是二次型. 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形。 为二次型的标准形。 1．用和号表示 对二次型 取 则 2．用矩阵表示 标准形的矩阵形式为 注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。 2、其对角线上的元素 恰好是 的系数. 3、 的系数的一半分给 可保证 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。 解 问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗? 定义 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)。 平方项系数只在 中取值的标准形 称为二次型的规范形。 目的： 对给定的二次型 找可逆的线性变换(坐标变换)： 代入(1)式，使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形。 第六章 二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵 §6.2 化二次型为标准型 §6.1 二次型及其矩阵表示 简记 设 若 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 为可逆线性变换。 当C 是可逆矩阵时, 称 对于二次