二对坐标的曲线积分的计算法.pptVIP

第四节　对坐标的曲线积分 * 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系 一、对坐标曲线积分的概念 第五模块　二重积分与曲线积分 一、对坐标曲线积分的概念 引例　变力沿曲线所作的功. 设一质点 在力 F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j 的作用下， 在 xy 平面上沿曲线 L 从点 A 移动到点 B， 　　　　　　　 求变力 F(x, y) 所作的功. 将有向弧段 L 任分为 n 个有向子弧段， 即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)，?， Mn(xn, yn) = B 把有向曲线 L 分成 n 个有向小段， 它相应的有向弦段为 第 i 段有向曲线弧段为 Mi -1Mi (i = 1, 2, ?, n)， Mi -1Mi = (?xi)i + (?yi)j ， B=Mn Mi Mi -1 M2 M1 A=M0 (xi, hi) ?xi ?yi O F(xi, hi) x y 其中 ?xi = xi - xi - 1， ?yi = yi - yi - 1是有向小弧段 Mi -1Mi 分别在 x 轴和 y 轴上的投影. 如果函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在 L上连续， 则在每段小弧段上， 它们的变化就不会太大， 因此我们可以用有向弧段 Mi -1Mi 上任意一点 (xi, hi) 处受到的力 F(xi, hi) = P(xi, hi)i + Q(xi, hi)j， 近似代替 Mi -1Mi 上各点处受到的力. 这样，变力 F(x, y) 沿有向小弧段 Mi -1Mi 所作的功 ?Wi 就近似地等于常力 F (xi, hi) 沿有向弦段 Mi -1Mi 所作的功， 即 ?Wi ? F(xi, hi) ? Mi -1Mi = P(xi, hi)?xi + Q(xi, hi) ?yi . 于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的近似值为 令 ? 表示 n 个小弧段的最大弧长， 当 ??0 时， 上式的右端极限如果存在， 则这个极限就是 W 的精确值， 即 上述和式的极限，就是如下两个和式的极限 与 　　定义　设 L 为 xy 平面上由点 A 到点 B 的有向光滑曲线， 即 ?xi = xi – xi-1( ?yi = yi – yi-1). 作和式 记 ?xi (或 ?yi)为有向小弧段 Mi -1Mi 在 x 轴( y 轴)上的投影， 在 Mi -1Mi 上任取一点 (xi ,hi)， 记 ? 为 n 个小弧段的最大弧长. 　 且函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在 L上有定义. 由点 A 到点 B 把 L 任意地分成 n 个有向小弧段，记分点为 如果 存在，则称此极限值为函数 P(x, y)、(Q(x, y)) 在有向曲线Ｌ上对坐标 x (对坐标 y)的曲线积分. 记作 对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即 简记为 称之为组合曲线积分. 设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ- 是与Ｌ方向相反的有向曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的