4-5、6二次型与标准形(zjy).pptVIP

第五节 一、基本概念 若（1）中交叉项 二、二次型的矩阵与二次型的秩 令 二次型 二次型 二次型 若通过线性变换 第六节 （2）当 是正交矩阵时， 二、正交变换法化二次型为标准形 定理1 （主轴定理） 例1 用正交变换化二次型为标准型， 而它们所对应的标准正交的特征向量为 （4） 写出 3. 当 当 （4） 写出 三、正定二次型 设二次型的标准形为： 定理2 2、正定二次型 例5 推论2 例6 一、问题的推出 二次型及其矩阵表示 二、基本概念 三、二次型的矩阵及二次型的秩 1、二次型及其表示 定义1 含 个变元 的二次齐次多项式 称为n元二次型（或二次齐式）。 （1） 的系数全部为零，即 为 的标准二次型（二次型的标准形） 可见 f 为对角形。 注： 由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。 如： 不是二次型 是二次型 例1 将下列二次型用矩阵表示。 解 称A为二次型 的矩阵 （3） 简记为 推广： 的矩阵， 与 可建立一一对应关系， 的秩称为 称上式中实对称矩阵 为二次型 的秩。 例2 将下列二次型写成矩阵形式。 解 的矩阵 是一实对称矩阵， 解 的矩阵 是一实对称矩阵， 解 的矩阵 是一实对称矩阵， 使二次型 经变换后化为只含平方项的标准形。 即通过 因为 其中 为二次型的标准形。 一、二次型的满秩线性变换 正交变换法 化实二次型为标准形 称 为可逆线性变换。 （1）当 是可逆矩阵时， 称 为正交变换。 如果存在正交矩阵P，使 其中 为 的特征值。 如果在满秩线性变换 中， C是正交矩阵，则 称它是正交线性变换矩阵，简称正交线性变换。 由于实二次型的矩阵是一个对称方阵， 故对于任意 一个 n 元实二次型 一定可以找到一个正 交变换 使得 对二次型 存在正交变换 使 其中 为 的特征值。 其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。 正交变换。 解 （1）写出二次型 f 的矩阵A . (2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的 特征向量。 并求出所用的 (3) 写出正交变换 取正交矩阵 则得所欲求的正交变换 即 的标准形。 易知经上述正交变换 后所得二次型的标准形 必须指出： 把实二次型 化为标准形后， 所得标准形虽然不是惟一的， 但在标准形中的系数不 等于零的平方项的个数是由A的秩所惟一确定的。 并且 在标准形中平方项系数为正的的个数p 与负的个数 r - p也都是惟一确定的。 它们依次被称为实二次型 的正（负) 惯性指数。 2. 解 二次型的矩阵为 3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化： 作正交变换 X=QY，则 解 （1）写出二次型 f 的矩阵A . (2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的 特征向量。 时解 解之 其基础解系 先将 正交化。 单位化 得同解方程组 基础解系为 时解 单位化 (3) 写出正交变换 取正交矩阵 则得所欲求的正交变换 的标准形。 易知经上述正交变换 后所得二次型的标准形。 二次型的标准形显然不是唯一的， 只是标准形中 所含项数是确定的（即是二次型的秩R(A)), 不仅如此 在限定变换的实变换时， 标准形中的系数的个数是不 变的（从而负系数的个数也不变）。 这与选择的线性 变换无关， 可设二次型的标准形为： 令 （1）式变成 则称 (2) 为实二次型 的规范型。 其平方项系数为 1，－1，0。 (惯性定理) 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆 线性变换化成规范形, 规范形是唯一的. 其中 为 的秩. 都有 定义 设 为实二次型 (A为实对称矩阵), 如果对于任意非零向量 称 为正定(半正定)二次型, 称正定(半正定) 二次型 的矩阵 为正定(半正定)矩阵. 判别下列二次型的正定性 任 半正定. 1. 2. 解 1. 代入, 2. 不定.