【优化指导】2015高考数学总复习 第2节 不等式的证明素能提升演练 理（含解析）新人教版选修4-4.doc

【优化指导】2015高考数学总复习 第2节 不等式的证明素能提升演练 理（含解析）新人教版选修4-4 1．函数f(x)＝3x＋(x0)的最小值为________． 解析：9　f(x)＝3x＋＝x＋x＋≥3＝9，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立． 2．记S＝＋＋＋…＋，则S与1的大小关系是________． 解析：S1　210＋1210,210＋2210，…，211－1210， S＝＋＋＋…＋ ＝1. 3．已知＋＝1(ab0)，则利用柯西不等式判断a2＋b2与(x＋y)2的大小关系为________． 解析：a2＋b2≥(x＋y)2　＋＝1， a2＋b2＝(a2＋b2)≥2＝(x＋y)2. 4．已知abcd，则(a－d)的最小值为________． 解析：9　原式＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3 ×3＝9. 当且仅当a－b＝b－c＝c－d时等号成立． 5．设0x1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是________． 解析：c　由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2xa2，a0，b0得ba. 又c－b＝－(1＋x)＝＝0得cb，知c最大． 6．设x0，y0，若不等式＋＋≥0恒成立，则实数λ的最小值是________． 解析：－4　x0，y0， 原不等式可化为－λ≤(x＋y)＝2＋＋. 2＋＋≥2＋2 ＝4， 当且仅当x＝y时等号成立． (x＋y)min＝4， 即－λ≤4，λ≥－4. 7．(2013·新课标全国高考)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证： (1)ab＋bc＋ca≤； (2)＋＋≥1. 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1. 8．已知a，b为正实数． (1)求证：＋≥a＋b； (2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0x1)的最小值． (1)证明：方法一：a0，b0， (a＋b)＝a2＋b2＋＋ ≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. ＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立． 方法二：＋－(a＋b)＝ ＝＝ ＝. 又a0，b0，≥0， 当且仅当a＝b时等号成立．＋≥a＋b. (2)解：0x1，1－x0， 由 (1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1. 当且仅当1－x＝x，即x＝时等号成立． 函数y＝＋(0x1)的最小值为1. 9．(2014·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－1|. (1)解不等式：1≤f(x)＋f(x－1)≤2； (2)若a0，求证：f(ax)－af(x)≤f(a)． (1)解：由题f(x)＋f(x－1)＝|x－1|＋|x－2|≥|x－1＋2－x|＝1. 因此只需解不等式|x－1|＋|x－2|≤2. 当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1； 当1x≤2时，原不等式等价于1≤2，即1x≤2； 当x2时，原不等式等价于2x－3≤2，即2x≤. 综上，原不等式的解集为. (2)证明：由题f(ax)－af(x)＝|ax－1|－a|x－1|. 当a0时，f(ax)－af(x)＝|ax－1|－|ax－a| ＝|ax－1|－|a－ax| ≤|ax－1＋a－ax|＝|a－1|＝f(a)． 10．(2012·福建高考)已知函数f(x)＝m－|x－2|，mR，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c(0，＋∞)，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (1)解：因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. (2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c(0，＋∞)，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ≥2＝9. 11．已知a，b为实数，且a0，b0. (1)求证：≥9； (2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值． (1)证明：因为a0，b0， 所以a＋b＋≥3 ＝30， 同理可得a2＋＋≥30. 由及不等式的性质得 ≥3×3 ＝9. (2)解：[(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22] ≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2. 所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥. 当且仅当＝＝时取等号，即a＝，b＝. 所以当a＝，b＝时，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值. 12．已知a，b，c均为正数． (1)求证：a2＋b2