【优化探究】2015届高考数学一轮复习 2.11 导数在函数研究中的应用备选练习 文 新人教A版.doc

【优化探究】2015届高考数学一轮复习 2.11 导数在函数研究中的应用备选练习 文 新人教A版 [B组　因材施教·备选练习] 1．(2013年高考全国新课标卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 解析：若c＝0则有f(0)＝0，所以A正确；由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数y＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确；由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0)单调递减是错误的；D正确，选C. 答案：C2．函数f(x)＝ln x－ax2(aR)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a＝时，证明：存在x0(2，＋∞)，使f(x0)＝f(1)． 解析：(1)函数f(x)＝ln x－ax2的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－2ax＝， 当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)＝ln x－ax2的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a0时，若f′(x)0，有 0x，若f′(x)0，有x， 函数f(x)＝ln x－ax2的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，当a0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)当a＝时，f′(x)＝， 当x(0,2)时函数f(x)是增函数，当x(2，＋∞)时函数f(x)是减函数， 函数f(x)的最大值为f(2)＝ln 2－. f(1)＝－， 在(2，＋∞)上取x＝e4，计算得f(e4)＝4－4－＝－28f(1)， f(e4)f(1)f(2)． x∈(0,2)时函数f(x)是增函数，x(2，＋∞)时函数f(x)是减函数， 存在x0(2，e4)，使f(x0)＝f(1)， 存在x0(2，＋∞)，使f(x0)＝f(1)．