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【优化探究】2015届高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性备选练习 文 新人教A版
【优化探究】2015届高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性备选练习 文 新人教A版
[B组 因材施教·备选练习]
1.已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=,若f(2-x2)f(x),则实数x的取值范围是 ( )
A.(-2,1) B.(-∞,-2)(1,)(,+∞)
C.(-1,2) D.(-2,-)(-,0)(0,1)
解析:因为函数g(x)是R上的奇函数,所以当x0时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),而当x=0时,x3=ln(1+x)=0,在函数f(x)中补充f(0)=0,则根据y=x3,y=ln(1+x)都是单调递增的,可得函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以f(2-x2)f(x)等价于2-x2x,即x2+x-20,解得-2x1.注意到函数的定义域,还应该有2-x2≠0,x≠0,即x≠±,x≠0,所以实数x的取值范围是(-2,-)(-,0)(0,1).
答案:D
2.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
解析:(1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数,证明如下:
令x1=x2=-1,有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=f(1)=0,解得f(-1)=0.
令x1=-1,x2=x,
有f(-x)=f(-1)+f(x),
f(-x)=f(x).
f(x)为偶函数.
(3)f(4×4)=f (4)+f(4)=2,
f(16×4)=f(16)+f(4)=3,
而f(3x+1)+f(2x-6)≤3,
即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*)
f(x)在(0,+∞)上是增函数,
(*)式等价于不等式组
或
解得
或
3x≤5或-≤x-或-x3,
x的取值范围为{x|-≤x-或-x3或3x≤5}.
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