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【优化探究】2015届高考数学总复习 不等式的证明备选练习 文(含解析)新人教A版选4-5
【优化探究】2015届高考数学总复习 选4-5 2 不等式的证明备选练习 文(含解析)新人教A版
一、选择题
1.若实数x,y适合不等式xy1,x+y≥-2,则( )
A.x0,y0 B.x0,y0
C.x0,y0 D.x0,y0
解析:x,y异号时,显然与xy1矛盾,所以可排除C、D.
假设x0,y0,则x.
x+yy+≤-2与x+y≥-2矛盾,故假设不成立.
又xy≠0,x0,y0.
答案:A
2.已知x,yR,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是( )
A.M≥N B.M≤N
C.M=N D.不能确定
解析:M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)
=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]
=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.
故M ≥N.
答案:A
3.(2014年南昌第一次模拟)若x1,则函数y=x++的最小值为( )
A.16 B.8
C.4 D.非上述情况
解析:y=x++=x++≥2=8,当且仅当x=2+时等号成立.
答案:B
4.设P=,Q=-,R=-,则P、Q、R的大小顺序是( )
A.PQR B.PRQ
C.QPR D.QRP
解析:+=2,
-,即PR;
又(+)2=9+2,(+)2=9+2,
(+)2(+)2,++.
∴--,即RQ;
故有PRQ.故应选B.
答案:B
5.设M=+++…+,则( )
A.M=1 B.M1
C.M1 D.M与1大小关系不定
解析:210+1210,210+2210,…,211-1210,
M=+++…+
答案:B
6.(2014年黄冈模拟)若不等式≤a≤在t(0,2]上恒成立,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由已知对任意t(0,2]恒成立,
于是只要当t(0,2]时,
记f(t)=t+,g(t)=+22,可知两者都在(0,2]上单调递减,f(t)min=f(2)=,g(t)min=g(2)=1,
所以a,选B.
答案:B
二、填空题
7.设0<x<1,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是________.
解析:由a2=2x,b2=1+x2+2x>a2,a>0,b>0得b>a.又c-b=-(1+x)==>0得c>b,知c最大.
答案:c
8.若0,则下列四个结论
|a||b|;a+bab;+2;2a-b,其中正确的是________.
解析:取特殊值a=-1,b=-2,
代入验证得正确.
答案:
9.若T1=,T2=,则当s,m,nR+时,T1与T2的大小为________.
解析:因为-=s·
=≤0.
所以T1≤T2.
答案:T1≤T 2
三、解答题
10.已知a>0,b>0,求证+≥a+b.
证明:a>0,b>0,+-(a+b)=+=+=(a-b)2·(a+b)≥0,
+≥a+b.
11.(2014年南充模拟)设a,b,c为正数且a+b+c=1,求证:2+2+2≥.
证明:2+2+2
=(12+12+12)
≥2
=2
=2
≥×(1+9)2=.
该不等式成立.
12.(能力提升)(1)已知a,b,cR+,且abc=1,求证:(2+a)·(2+b)(2+c)≥27;
(2)已知a,b,cR+,且a+b+c=1,求证:++≥.
证明:(1)(2+a)(2+b)(2+c)=(1+abc+a)(1+abc+b)(1+abc+c)≥3·3·3
=27=27,
当且仅当a=b=c=1时取等号.
(2)a+b+c=1,++=++=-1+-1+-1,故只需要证明++≥,
由柯西不等式得[(1+b+c)+(1+a+c)+(1+a+b)]·≥
2=9++≥,
当且仅当a=b=c=时取等号.
故原不等式得证.
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