【优化探究】2015高考数学 2-11 导数在函数研究中的应用提素能高效训练 新人教A版 理 .doc

【优化探究】2015高考数学 2-11 导数在函数研究中的应用提素能高效训练 新人教A版 理 [A组　基础演练·能力提升] 一、选择题 1．函数y＝在区间(1，＋∞)上(　　) A．是减函数　　　　　　B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值 解析：由题意知y′＝，该函数在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以有极小值． 答案：C 2．(2013年高考浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0x1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)0，当x1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0x1，x1时，f(x)0，由极值的概念，知选C. 答案：C 3．(2014年滨州模拟)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 解析：依题意，f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足，故选A. 答案：A 4．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　) A．abc B．cba C．cab D．bca 解析：依题意得，当x1时，有f′(x)0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－101，因此有f(－1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，cab，选C. 答案：C 5．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：由题，知函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，解得x＝. 所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增． 故有解得1≤k.故选D. 答案：D 6.已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是(　　) A．f(x)＝x2－2ln|x| B．f(x)＝x2－ln|x| C．f(x)＝|x|－2ln|x| D．f(x)＝|x|－ln|x| 解析：经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于1，对四个选项求导可知选B项． 答案：B 二、填空题 7．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________. 解析：由于f′(x)＝ ＝＝，而函数f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝＝0，解得a＝3，故填3. 答案：3 8．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________． 解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导函数为f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)·ex，由函数导数与函数单调性的关系得，当f′ (x)0时，函数f(x)单调递增，此时由f′(x)＝(x－2)·ex0，解得x2. 答案：(2，＋∞) 9．已知函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．若f(6－a2)f(a)，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝当x≤e时，f′(x)＝6－2x＝2(3－x)0，当xe时，f′(x)＝1－＝0，f(x)在R上单调递增．又f(6－a2)f(a)，6－a2a，解之得－3a2. 答案：(－3,2) 三、解答题 10．(2014年南昌模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，aR.求函数f(x)的单调区间； 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－ax＋1＝－. 当a＝0时，f′(x)＝，x0，f′(x)0， 当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 当a≠0时，令f′(x)＝0得－＝0， x0，ax2－x－1＝0，Δ＝1＋4a. 当Δ≤0，即a≤－时，易知ax2－x－1≤0恒成立，故f′(x)≥0，当a≤－时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 当Δ0，即a－时，方程ax2－x－1＝0的两个实根分别为x1＝，x2＝. 若－a0，则x10，x20，此时，当x(0，＋∞)时，f′(x)0， 当－a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 若a0，则x10，x20，此时，当x(0，x2)时，f′(x)0，当x(x2，＋∞)时，f′(x)0， 当a0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.