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第三节 用正交变换化二次型为标准形 《线性代数》 下页 结束 返回 一、正交变换 二、利用正交变换化二次型为标准形 下页 一、 正交变换 定义1 设P为n阶正交矩阵，X、Y是 中的n维向量， 称线性变换 X＝PY 是 上的正交变换. 性质： （1）正交变换是可逆线性变换； （2）正交变换不改变向量的内积. 定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的. 定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ri 重特征值 li 对应 ri 个线性无关的特征向量. 下页 定理3 设A为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使 其中 为A的n个特征值， 正交矩阵P的n个列向量 是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量. 二、用正交变换化二次型为标准形 利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）： (1) 写出二次型的矩阵形式； (2) 求出A的全部特征值λ1, λ2, …， λn ； (3) 对每一个特征值λi , 解方程 (λi E-A )X=0, 求出基础解系， 然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为 X＝PY； (5) 所求二次型的标准形为 下页 例1. 用正交变换化下列二次型为标准形． 解: 二次型的 f 系数矩阵为 矩阵Ａ的特征方程为： 解得，λ1=-2,λ2=λ3=7． 下页 对于λ1=-2 ，解方程组 (-2E-A)X=0 (7E-A)X=0 得基础解系 将其正交化得 将其单位化得 将其单位化得 解得，λ1=-2,λ2=λ3=7． 得基础解系 例1. 用正交变换化下列二次型为标准形． 下页 令 则通过正交变换 例1. 用正交变换化下列二次型为标准形． 下页 例2. 已知二次型 通过正交变换X=PY化为标准形 求a及正交变换矩阵P． 解：f 的矩阵A及标准形的矩阵 Λ分别为 由已知条件得 即 4(9- a2) =32 解得 a=1, a= -1 (舍去) 由A相似于对角阵Λ，得A的 特征值为 λ1=2，λ2=λ3=4． 对于λ1=2 ，解方程组 (2E-A)X=0 得基础解系 下页 故A相似于对角阵Λ，所以 ｜A｜＝｜Λ｜ 把ξ１单位化，得对应于λ1=2 的单位特征向量 对于λ2=λ3=4 ，解方程组 (4E-A)X=0 （注意求基础解系的过程） 4E-A 4- 4 0 0 0 0-1 4-3 0 4-3 0-1 ? 0 0 0 0 -1 1 0 1 -1 ? 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 ? 例2. 已知二次型 通过正交变换X=PY化为标准形 求a及正交变换矩阵P． 下页 4E-A 4-4 0 0 0 0-1 4-3 0 4-3 0-1 ? 0 0 0 0 -1 1 0 1 -1 ? 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 ? 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 ? 得 (4E-A)X?0 的一般解为 x2=0x1 + x3 其基础解系为 例2. 已知二次型 通过正交变换X=PY化为标准形 求a及正交变换矩阵P． 下页 所求的正交矩阵为 例2. 已知二次型 通过正交变换X=PY化为标准形 求a及正交变换矩阵P． 下页 得 (4E-A)X?o的一般解为 x2=0x1 + x3 其基础解系为 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 ? 例3. 已知二次型 通过正交变换X=PY化为标准形 ，求a , b的值 及正交变换矩阵P． 解：f 的矩阵A及标准形的矩阵 Λ分别为 由A相似于对角阵Λ，得Ａ的 特征值为 λ1=0，λ2=1,λ3=4． 对于λ1=0 ，解方程组 (0E - A)X=0 得基础解系 下页 由已知条件得 故A相似于对角阵Λ，所以 ｜A｜＝｜Λ｜ Tr(A)= Tr(Λ) 解得 即 把ξ１单位化，得对应于λ1=0 的单位特征向量 类似可得对应于λ２=１的单位 特征向量为 对应于λ３=４的单位特征向量为 所求的正交矩阵为 例3. 已知二次型 通过正交变换X=PY化为标准形 ，求a , b的值 及正交变换矩阵P． 下页 作业： 176页