高中数学(人教版)三重积分课件.ppt

积时, 于是与二重积分换元法一样, §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 在 上可 当 可以证明如下三重积分换元公式: 下面介绍几个常用的换元公式: 1. 柱面坐标变换 由于变换 T 的函数行列式 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 按 (5) 式, 三重积分的柱面坐标换元公式为 这里 为 在柱面坐标变换下的原象. 与极坐标变换一样, 柱面坐标变换并非是一对一的, 并且当 时, 式成立. 在柱面坐标系中, 用 的平面分割 时, §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 但我们仍可证明 (6) 坐标系中, 变换后在 是以 z 轴为中心轴的圆柱面, 是过 z 轴的半 用柱面坐标计算三重积分, 通常是找出 V 在 xy 平面 平面, §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 上的投影区域 D, z=常数是垂直于 z 轴的平面 (图21-34). 即当 其中二重积分部分应用极坐标变换计算. §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 坐标变换, 区域 可表为 所以由公式 (6), §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 是由曲面 例3 计算 其中 V 如图 21-35所示, 解 V 在 xy 平面上的投影 按柱 所围的区域. 区域 D为 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 2. 球面坐标变换 如图21-36, 由于 换下, 按公式(5), 三重积分的球坐标变换公式为 这里的 为V 在球坐标变换下的原象. 但仍然可以证明(6) 式 类似地, 球坐标变换并不是一对一的, 并且当 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 所以在球坐标变 成立. 直角坐标系中 = 常数是以原点为心的球面, =常数是以原点为顶 点, 轴为中心轴的圆锥面, =常数是过 轴的半平 面. 在球坐标系中, 用 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 为集合 在球坐标系下, 当区域 时, (7)式可化为累次积分 例4 求由圆锥体 和球体 所确定的立体体积 (图21-37), 其中 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 为常数. 解 在球坐标变换下, 球面方程 可表示成 锥面方程 因此 由公式 (8) 求得 V 的体积为 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 例5 求 所确定的区域. §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 解 作广义球坐标变换 除上面介绍的两种变换外, 下面再举一个例子, 进一 步说明如何根据被积函数或积分区域的特点来选择 其他不同的变换. 于是 在上述坐标变换下, V 的原象为 由公式 (8), 有 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 一、三重积分的概念 二、化三重积分为累次积分 三、三重积分换元法 三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量. 研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似. §5 三 重 积 分 数学分析 第二十一章 重积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 与二重积分相类似, 通过求一个空间立体 V 的质量 设 V 的密度函数为 在每一小块 上任取一点 为了求 V 的质量, 把 V 分割成 n 小块: 其中 为小块 Vi 的体积, §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 三重积分的概念 M 就可导出三重积分. 则 定义在 V 上的有界函数. 成的曲面网 T 来分割 V， 设 为一可求体积的有界区域, 是 §1三重积分 三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法 现用若干个光滑曲面所组 它把 V 分成 n 个小区域: 并记