7.5函数展开成正弦级数与余弦级数.pptVIP

无穷级数 一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 * Chapter 7 Infinite Series 无穷级数 §7.5 函数展开成正弦级数与余弦级数 教学目的与要求：理解正弦级数和余弦级数的概念，能够根据所给函数的奇偶特点将函数展开为正弦级数或余弦级数。 知识点：周期为2?的函数展开为正弦级数或余弦级数；定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数；周期为2l的函数展开为正弦级数或余弦级数。 重点：周期为2?的函数展开为正弦级数或余弦级数。 难点：定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数。 §7.5 函数展开成正弦级数与余弦级数 一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 三、小结 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定理1 证明 奇函数 同理可证(2) 定义 偶函数 定理证毕. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件.(见下图） 和函数图象 观察两函数图形 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续. 非周期函数的周期性开拓 则有如下两种情况 2. 在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ? ] 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓 偶延拓 正弦级数 f (x) 在 [0 , ? ]上展成 机动 目录 上页 下页 返回 结束 奇延拓: 偶延拓: 解 (1)求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 注意: 在端点 x = 0, ? , 级数的和为0 , 与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同 . (2)求余弦级数. 1. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 2. 在 [ 0 , ? ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 内容小结 3、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数; (1)当周期为的奇函数展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 如果为奇函数,傅氏级数 称为正弦级数. 如果为偶函数, 傅氏级数 称为余弦级数. 例1 设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,将展开成傅氏级数. 例2 将周期函数展开成傅氏级数,其中是正常数. 例3 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数. (2)当周期为的偶函数展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 设是周期为的周期函数,它在上的表达式为. 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数 . 将以为周期的函数在内展开成傅里叶级数,并求级数的和 . 证明:当时,. 一、. 二、 ； . 三、； . 判断题 1．上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且在上收敛于f(x)。 （ ） 2．定义在上的任意函数，只要符合狄利克雷的条件，就既可展成正弦级数，也可展成余弦级数。 （ ） 二填空题 1.展成正弦级数为 。 2.展成余弦级数为 。 三　选择题 求上的正弦级数，实际上就是求（ ）中上的傅立叶级数。 2.设展成傅立叶级数, 则系数满足（ ） （A） （B） （C） （D）