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高中数学1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版必修
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1.柱体、锥体、台体的表面积公式
S表面积=S侧面面积+S底面面积
圆柱、圆锥、圆台的表面积:
S圆柱=2πr(r+l).
S圆锥=πr(r+l).
S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl).
其中r,r′为底面半径,l为母线长.
2.柱体、锥体、台体的体积
柱体:V=Sh,V圆柱=πr2h.
锥体:V=Sh,V圆锥=πr2h.
台体:V=(S′++S)h,
V圆台=π(r′2+r′r+r2)h.
其中S、S′为底面面积,h为高,r、r′为底面圆半径.
解析:考虑将无盖的正方体展开(如图),正方形的包装纸刚好将展开图覆盖,此时正方形四个角落的等腰直角三角形刚好可以组成一个正方形,从而达到封住正方体盖子的效果.通过计算知,此时包装纸的边长最小为2a,故所需包装纸的最小面积为8a2.
变式训练11:一个圆柱的底面面积是S,其侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为( )
(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)πS
解:由所盛雨水正好是桶深的可知,水深为=5(cm),设水面半径为r,如图所示,在△ABC中,=,即=7,所以r=13(cm).
所以V水=×5×(122+132+12×13)=(cm3),
S上底=πR2=π·192=361π(cm2),
所以=≈22(mm).
所以本次降水量约是22 mm.
解析:VPBCC1B1=·SBCC1B1·PB1=,故选B.
解析:(特值法)不妨设四面体为正四面体,棱长为1,由条件可知四面体EFGH也是正四面体,棱长为,故它们的表面积之比等于棱长之比的平方,即.
解:根据平面图形的对称性,设正方形边长为a,
则有2+2=a+2×a,∴a=2,
折叠后的四棱锥为底面是正方形的一个正四棱锥,P1、P2、P3、P4重合为P,PB=a=2,可求得P到平面ABCD的距离为,
∴VPABCD=·S四边形ABCD·h=a2·=(m3).
故该锥体的体积为 m3.
做一做:
1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的表面积是( A )
(A)3π (B)3π (C)6π (D)9π
答案:8a2
解析:设圆柱的底面半径为R,则S=πR2,R=,底面周长c=2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧=c2=(2πR)2=4π2=4πS.故选A.
1.若圆台的上下底面半径分别是1和3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是( C )
(A)2 (B)2.5 (C)5 (D)10
5.如图,已知圆柱体底面圆的半径为 cm,高为2 cm,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线.若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是________ cm(结果保留根式).
8.(2009年济南市名校调研卷)现有一个长方体水箱,从水箱里面量得它的深度是30 cm,底面的长是25 cm,宽是20 cm.设0<a≤8,水箱里盛有深为a cm的水,若往水箱里放入棱长为10 cm的立方体铁块,则水深为( D )
(A)2 cm (B)10 cm
(C)(a+2)cm (D)cm
解析:设底面圆半径为r,则(2r)2=,
∴r=1,母线l=2,
∴S底=πr2=π,S侧=πrl=2π,∴S表=3π.故选A.
知识要点一:柱体、锥体、台体的表面积
柱体(锥体、台体)的表面积等于底面积与侧面积之和.可由几何体的侧面展开图求柱体(锥体、台体)的侧面积.
圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系:
求几何体的体积
【例2】 一块边长为a cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面的中心)形容器.设所裁等腰三角形的底边边长为x cm,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
解析:设母线长为l,则S侧=π(1+3)l=4πl.
S
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