高中数学3-1-3《空间向量的数量积》课件新人教B版选修.ppt

* 空间向量的数量积运算 一、共线向量: 零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数λ使 推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量. O A B P a 若P为A,B中点, 则 2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有 注意： 空间四点P、M、A、B共面 实数对 平面向量数量积的相关知识 复习： 平面向量的夹角： A O B A B 叫做向量 a与 b的夹角。 已知两个非零向量 a 和 b， 在平面上取一点O， 作OA= a,OB= b,则 平面向量的数量积的定义： 平面向量的数量积 已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos 叫做向量a, b的数量积，记作 即 并规定 0 教学过程 一、几个概念 1） 两个向量的夹角的定义 O A B 2）两个向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。 3）射影 B A A1 B1 注意：　是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量　　与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。 4)空间向量的数量积性质 注意： 　①性质2）是证明两向量垂直的依据； 　②性质3）是求向量的长度（模）的依据； 对于非零向量　　 ，有： 5)空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律 二、 课堂练习 三、典型例题例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥? 分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。 n m g g m n ? l l 要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn 要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0 而l·m＝0 ，l·n＝0 故 l·g＝0 三、典型例题例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥? n m g g m n ? l l 证明：在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥? 例2：已知：在空间四边形OABC中,OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB A B C O 巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理 a A O P 例3 如图，已知线段　　在平面　 内，线段　　　　 ，线段　　　　 ，线段　　　　，　　　　　 ，如 果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。 解：由　　　，可知　　　　. 由　　　　 知　　　　　　 . 例4　已知在平行六面体　　　　　　　中，　　　, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　, 求对角线　　的长。 解： *