高中数学3-1-2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修B.ppt

[例4]　已知e1，e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线． [误解]　因为3e1与－3e1共线，4e2与8e2共线，所以a与b共线． [辨析]　没有准确理解向量共线的充要条件：任一向量a与非零向量b共线的充要条件是a＝λb. 第三章 空间向量与立体几何 人教 A 版数学 1．知识与技能 掌握空间向量的数乘运算．理解共线向量，直线的方向向量和共面向量． 2．过程与方法 能够利用共线向量和共面向量进行推理和论证． 重点：向量的数乘运算，共线向量与共面向量定理． 难点：共线向量和共面向量的理解与运用． 1．共线向量 前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即①a∥b，b≠0，则存在唯一实数x使a＝xb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b. 判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用②证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上． 运用②证明三点共线，还需说明a与b有公共点． 2．共面向量 ①a∥α是指a所在的直线在平面α内或平行于平面α.②共面向量是指这些向量所在的直线平行或在同一平面内，共面向量所在的直线可能相交、平行或异面． 空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长方体，向量 ，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内． 向量p与不共线向量a，b共面?存在惟一有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb(※) 1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个 ，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系 向量 λ的范围 方向关系 模的关系 λ0 方向 . λa的模是a的模的 倍. λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ0 方向 . 相同 相反 |a| (3)空间向量的数乘运算律 设λ、μ是实数，则有 ①分配律：λ(a＋b)＝ . ②结合律： . λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a 2．共线向量与共面向量 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做 或平行向量 平行于 的向量叫做共面向量 充要 条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 . 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使 . 互相平行或重合 共线向量 同一个平面 a＝λb p＝xa＋yb [例1]　已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值： [分析]　由题目可以获取以下主要信息： ①ABCD是正方形，O为中心，PO⊥面ABCD，Q为CD中点； ②用已知向量表示指定向量． 解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等．求出x、y即可． [解析]　如图， [例3]　正方形ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面． 第三章 空间向量与立体几何 人教 A 版数学 ∴＝＋2＋＝2(＋＋)． ∴＝2. ∴∥，即与共线． 稍作变化即：点P位于平面ABC内存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y(※※) 或对空间任一点O，有＝＋x＋y(※※※) 这是空间平面ABC的向量表示式． (※)式是判定三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的表示式；(※※)是证明点线共面的依据．(※※※)是证明四点共面的依据． 如右图，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且＝，＝. 求证：四边形EFGH是梯形． [证明]　∵E、H分别是AB、AD的中点， ∴＝，＝. ∵＝，＝， ∴＝，＝， ∴＝－＝－＝(－) ＝＝(－)＝(－) (1)∵＝－＝－(＋) ＝－－PC， ∴x＝y＝－. (2)∵＋＝2，∴＝2－. 又∵＋＝2，∴＝2－. 从而有＝2－(2－)＝2－2＋. ∴x＝2，y＝－2. ＝(－)＝. ∴∥且||＝||≠||. ∵EFG，∴EH∥FG且|EH|＝|FG|， ∴四边形EFGH是梯形． [点评]　应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，应熟练掌握．本题(1)中的突破点是O为AC的中点，由平行四边形法则知＝(＋)，该公式可看作向量形式的中点坐标公式，进行向量表示时要注