高中数学3-2-2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修D.ppt

[例4]　计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011. [分析]　由题目可获取以下主要信息： 已知虚数单位i的幂，求和． 解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简． [点评]　1.虚数单位i的周期性． ①i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)． n也可以推广到整数集． ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 计算：1＋2i＋3i2＋…＋2012·i2011. [解析]　设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2012i2011① 则iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2011i2011＋2012i2012② ①－②得 (1－i)·S＝1＋i＋i2＋…＋i2011－2012i2012 ＝－1－2012(i4)503＝－2013 3．2.2　复数代数形式的乘除运算 掌握复数的乘法、除法的运算法则并能熟练准确地运用法则解决相关的问题． 本节重点：复数代数形式的乘除运算． 本节难点：复数除法． 1．复数的乘法按多项式乘法的规则进行运算，结果中的i2要换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的乘积仍然是一个复数． 2．i的幂的周期性． i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 (n∈N*)． 1．复数乘法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a、b、c、d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ . 2．复数乘法满足交换律、结合律及分配律 对任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝ ； ②(z1z2)z3＝ ； ③z1(z2＋z3)＝ . (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 [例1]　(1)设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)．若z1z2为实数，求实数x； (2)计算：(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)； (3)计算：(a＋bi)(a－bi)(a，b∈R)． [分析]　(1)利用乘法法则先求出z1z2，由z1z2的虚部等于零可求得x.(2)主要利用i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．(3)也可直接应用平方差公式． [解析]　(1)z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi－2＝(x－2)＋(2＋x)i，因为z1z2是实数，所以x＋2＝0，所以x＝－2. (2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i. (3)原式＝a2－abi＋bai－b2i2＝a2＋b2. [点评]　复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，即先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次高级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如含有i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算． (1)若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于 (　　) [答案]　A (2)(2009·江苏，1)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________． [答案]　－20 [解析]　本题主要考查复数的概念及运算． ∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i， ∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i. ∴复数(z1－z2)i的实部为－20. [分析]　对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的目的． [点评]　复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接地约简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简，复数除法的一般作法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数并把结果化简即可． [答案]　A [答案]　A [解析]　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)． 则集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0} ＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}， 故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆． 设w＝a＋bi(a，b∈R)． z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.