高中数学人教A版必修4课件：1.4.2.1 正弦函数、余弦函数的性质(一).ppt

课时达标检测见课时达标检测(九) 1．4.2正弦函数、余弦函数的性质 第一课时　正弦函数、余弦函数的性质(一) [提出问题] 问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？ 问题2：正弦曲线具有什么特点？ 问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？ 提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin x，cos(2kπ＋x)＝cos x(kZ)． 提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次． 提示：是． [导入新知] 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫周期函数，叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 最小的正数 2．正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(xR)和余弦函数y＝cos x(xR)都是周期函数，2kπ(kZ，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为. 2π [化解疑难] 细解周期函数 (1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数． (2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期． (3)在周期函数y＝f(x)中，若xD，则x＋nTD(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界. [提出问题] 问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？ 提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称． 问题2：诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x体现了函数的什么性质？ 提示：奇偶性． [导入新知] 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是，余弦函数是． [化解疑难] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)奇偶性的判断方法 由于函数y＝Asin ωx(Aω≠0)是奇函数，y＝Acos ωx(Aω≠0)是偶函数，因此判断函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0). 奇函数 偶函数 [例1]　求下列三角函数的周期： (1)y＝3sin x，xR； (2)y＝cos 2x，xR； (3)y＝sin，xR； (4)y＝|cos x|，xR. [解]　(1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π. (2)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. (3)因为sin＝sin ＝sin， 由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π. (4)y＝|cos x|的图像如图(实线部分)所示， 由图像可知，y＝|cos x|的周期为π. [类题通法] 求函数最小正周期的常用方法 求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观察得到最小正周期． [活学活用] 求下列函数的最小正周期： (1)y＝3sin；(2)y＝cos|x|. 答案：(1)4　(2)2π [例2]　(1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为(　　) A．奇函数B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数 (2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性． [解析]　(1)(1)A (2)f(x)＝sin＝－cosx， f(－x)＝－cos＝－cosx， 函数f(x)＝sin为偶函数． [类题通法] 与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(kZ)； (2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(kZ)； (3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(kZ)； (4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(kZ)． [活学活用] 1．函数y＝cos的奇偶性是(　　) A．奇函数　　　　　 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 答案：A 2．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于(　　) A．0　　　B．　　　C．　　　D．π 答案：C [例3]　已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)