高中数学第2章章末归纳总结课件新人教B版必修.ppt

1．向量运算 (1)加法运算 加法法则： 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，a＋0＝0＋a＝a. 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)减法运算： 减法法则： 坐标运算： 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝(x1－x2，y1－y2)． 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， (3)实数与向量的积 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0. 运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb， 坐标运算：设a＝(x，y)则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (4)平面向量的数量积 定义：a·b ＝|a||b|cosθ(a≠0，b≠0,0°≤θ≤180°)，0·a ＝0. 运算律：a ·b＝b·a， (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)， (a＋b)·c＝a·c＋b·c. 坐标运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 2．重要的定理、公式 (1)平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)两向量平行的条件：a∥b?存在实数λ，使a＝λb(b≠0)． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b?x1y2－x2y1＝0. (3)两个非零向量垂直的条件：a⊥b?a·b＝0. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (1)数学中研究的向量只有大小和方向，与物理中研究的向量不完全一样．如力向量除与大小和方向有关外，还与作用点有关．向量可以分别用有向线段、字母、坐标表示. (2)对于向量的线性运算，要掌握向量加法和向量数乘的几何意义，利用向量的加法证明几何中的线段平行、相等等问题，利用向量数乘可以解决线段平行、相等等问题． (3)平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础．直角坐标系中与x、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面上任何一个向量都可以由一对有序实数对(x、y)表示．向量的坐标表示使向量的运算代数化，也为我们提供了解决问题的方法——向量坐标法．同时，也体现了向量与解析几何的联系，用向量方法可以解决解析几何问题．通过向量的学习，体会向量在解析几何中的应用． (4)向量的数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，而不是向量．向量的数量积与距离、夹角有密切联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何度量问题，特别是有关垂直的问题．向量的数量积与两向量的夹角有关，体现了它与三角函数的联系． (5)运算律是运算的灵魂．要注意将向量的运算律与数量的运算律类比．当a、b、c两两不平行时，(a·b)c≠a(b·c)．当a·b＝b·c时，不一定有a＝c.但当a＝c时，一定有a·b＝b·c. (6)学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件与二维的平面向量基本定理又可进行纵向类比． [例1]　下列几个命题： ①若a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②a，b为非零向量，且a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|； ③对非零向量a，b，c，必有a·(b·c)＝(a·b)·c； ④向量a与b不共线，且|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0 其中正确命题的序号为________． [解析]　①a⊥b时，a·b＝0，故①不正确； ②由向量加减法的平行四边形法则知，a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝|a－b|； ③数量积不满足结合律，③不正确； ④(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，故④正确．故填②④. [答案]　②④ [答案]　D [例2]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求向量d. [分析]　主要考查向量的坐标运算、共线条件以及运算能力． 已知a＝(5,4)，b＝(3,2)，则与向量2a－3b平行的单位向量为________． [例3]　设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值． [分析]　本题考查向量的模的求法及有关数量积的运算．