2015北京数学初三二次函数知识点总结.doc

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的基本形式 二次函数的基本形式的性质的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移” 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 六、二次函数的性质 1. 当，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 2. 当，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数中，作为二次项系数，显然．决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项 决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3.方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ） y y y y 1