高中生能听懂的有关“三大几何作图难题”的探讨.ppt

三大尺规作图难题 4.三大几何问题 （1）化圆为方 求作一正方形，使其面积等于一已知圆 （2）三等分角 分任意角为三等分 （3）倍立方体 求作一正方体，使其体积等于已知正方体体积的2倍。 作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。 阿基米德螺线化圆为方 达芬奇式化圆为方 意大利著名艺术大师达芬奇利用巧妙方法来解决化圆为方. 1896年，奥布里给出圆锥妙法 谢 谢 * * * 1.尺规作图的由来 尺规作图是起源于古希腊(公元前800年 - 公元前146年)的数学课题。只使用圆规和没有刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 欧几里得在《几何原本》 中对规则作了总结。 2.尺规作图的基本方法 （1）通过两个已知点可作一直线。?（2）已知圆心和半径可作一个圆。?（3）若两已知直线相交，可求其交点。?（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。?（5）若两已知圆相交，可求其交点。 3.尺规作图的五种基本图形 （1）作一个角等于已知角（2）平分已知角（3）作已知直线的垂直平分线（4）作一条线段等于已知线段（5）过一点作已知直线的垂线 三大几何问题（1）：化圆为方 你能把长方形化为等面积的正方形吗？ 作图演示 阿基米德（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。后人常把阿基米德和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。 阿基米德的非尺规作图“化圆为方” 阿基米德螺线 你能想象吗？时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹是怎么样的？ 几何画板演示 阿基米德的非尺规作图“化圆为方” 阿基米德螺线的简单画法 ? 有一种最简单的方法画出阿基米德螺线， 如图 4 ， 用一根线缠在一个线轴上， 在其游离端绑上一小环， 把线轴按在一张纸上， 并在小环内套一支铅笔， 用铅笔 拉紧线， 并保持线在拉紧状态， 然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹， 就得到 了阿基米德螺线。 阿基米德螺线的简单画法 ? 有一种最简单的方法画出阿基米德螺线， 如图 4 ， 用一根线缠在一个线轴上， 在其游离端绑上一小环， 把线轴按在一张纸上， 并在小环内套一支铅笔， 用铅笔 拉紧线， 并保持线在拉紧状态， 然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹， 就得到 了阿基米德螺线。 阿基米德螺线的简单画法 ? 有一种最简单的方法画出阿基米德螺线， 如图 4 ， 用一根线缠在一个线轴上， 在其游离端绑上一小环， 把线轴按在一张纸上， 并在小环内套一支铅笔， 用铅笔 拉紧线， 并保持线在拉紧状态， 然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹， 就得到 了阿基米德螺线。 阿基米德螺线的简单画法? 有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线 在拉紧状态，然后在纸上画出 由线轴松开的线的轨迹，就得 到了阿基米德螺线。 阿基米德的非尺规作图“化圆为方” 阿基米德的非尺规作图“化圆为方” 达芬奇的非尺规作图“化圆为方” π是一个超越数 化圆为方能用尺规作图 “化圆为方”的本质 三大几何问题（2）：三等分角 先退一步 任意给你一个角，你能把它而等分吗？ 三大几何问题（2）：三等分角 任意给你一个角，请你把它三等分。 这么简单的事， 居然是历史难题！ 阿基米德的非尺规作图“三等分角” 非尺规作图“三等分角” O A B R R 母线：3R 底面半径：R 3R 3R B A V 非尺规作图“三等分角” O A B O A B 没有有理根 三大几何问题（3）：倍立方体 作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积 的两倍 据说，公元前四百多年，在古希腊雅典流行伤寒病。万分惊惶的雅典人，向太阳神阿波罗祈祷消除灾难。太阳神指示：要消灾免祸，必须把殿前立方体香案的体积扩大两倍。 雅典人听了非常高兴，觉得这个要求很容易办到。于是就把香案的各条棱都扩大了两倍，做了个新立方体香案。不料太阳神大为震怒。原来新香案的体积并不是旧香案的两倍，而是旧香案的八倍。 那么，怎样才能把立方体香案的体积正好扩大两倍呢？如果设原来香案的棱长为1，新香案的棱长就必须是2的立方根。当时没人能解决的。于是，只好去请教久负盛名的大学者柏拉图。 非尺规作图“倍立方体” 柏拉图先画了两条互相垂直相交于O点的直线m和l，在l上截取线段OC＝1；在m上截取线段OD＝2。再把两个木匠用的角尺，像下图那样放在上面，使两把角尺的直角点A、B，分别在两条直线上，并且另外两条臂分