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第五章 控制系统的稳定性分析 稳定性的基本概念 系统稳定的充要条件 Routh稳定判据 Nyquist稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性 [ 定义 ] 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统； 如果只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定的系统； 特征根的三种情况及所对应时域解： S平面虚轴上重极点及稳定性 前面分析的为首列中没有元素是零的情况。 Routh判据表在分析中存在两种特殊情形。 例 F(s)=2s+1 F(s)=s/(s+2) Bode稳定判据 Nyquist图与Bode图的对应关系 1、 原点为圆心的单位圆? 0 分贝线; 2、单位圆以外? L(ω)0的部分； 3、单位圆内部? L(ω)0的部分； 4、负实轴?-180°线。 5、Nyquist轨迹辅助圆相连起始点?=0 到-v 90°线(v 为开环积分环节数) 负穿越 正穿越 负穿越(L(ω) 0) 正穿越 6、 在L(ω) 0的范围内 正穿越?对应于对数相频特曲线当 ω增大时从下向上穿越 －180°线(相位增大 )； 负穿越?对应于对数相频特曲线当 ω增大时从上向下穿越 －180°线(相位减小 )； Bode稳定判据 当ω由0→+∞变化时，在开环对数幅频特性曲线L(ω)≥0的频段内，若系统开环相频特性曲线φ(ω)对-180°线的正负穿越次数之差为P/2（P为系统开环在右半s平面的极点数），则闭环系统稳定。否则，闭环不稳定。 Bode稳定判据 例：已知某系统的开环传递函数 Bode图，试判断闭环系统的稳定性。 解：由题意可知开环特征方程有两个右根，即P=2, 再由Bode图可知：正负穿越数之差为-1 ，所以闭环系统不稳定。 Bode稳定判据 例：已知某系统的开环传递函数 Bode图，试判断闭环系统的稳定性。 解：由题意可知开环特征方程有0个右根，即P=0, 再由Bode图可知：正负穿越数之差为0 ，所以闭环系统稳定。 Bode稳定判据 例：已知某系统的开环传递函数 试根据Bode图判断闭环系统 的稳定性。 解：由开环传递函数可知开环特征方程无右根，P=0 ，再由Bode图可知L(?)0范围内?(?)和-?线不相交即正负穿越数之和为0，所以闭环系统稳定。 Bode稳定判据 例：已知某系统的开环传递函数 试根据Bode图判断闭环系统的稳定性。 解：开环传递函数的Nyquist图及Bode图如图所示，辅助圆如图中虚线所示。由开环传递函数可知开环在右半s平面无极点，即P=0，又由图可知开环相频特性曲线正负穿越数 N+-N-=-1，所以闭环 系统不稳定(实际闭环系统右极点个数 Z=P-N=2 )。且从图中可以看出，不论K如何变化。开环频率特性上的穿越次数却不变化，系统总是不稳定的，表明系统为结构不稳定系统。 Bode稳定判据 最小相位系统的Bode稳定判据： 开环频率特性Gk(S)在S右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：Nyquist图(开环频率特性曲线)不包围(-1,j0)点 (因为若N=0,且P=0,所以Z=0)。 幅值交界频率 ?c(剪切频率、幅值穿越频率): Gk(j?) 轨迹与单位圆 交点处的频率。 相位交界频率 ?g (相位穿越频率): Gk(j?)轨迹与负实轴交点处的频率。 Nyquist图幅值和相位关系为： 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， Bode图幅值和相位关系为： 稳定性的基本概念 稳定是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界或内部一些因素的扰动，例如负载波动、系统参数的变化等。因此,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施是控制理论的基本任务之一。 大范围稳定 小范围稳定 不稳定 稳定性的基本概念 [理解] [注意]对于线性系统而言： 1、若稳定,它必然在大范围内和小范围内都稳定。只有非 线性系统才可能存在小范围稳定而大范围不稳定情况。 2、在有界输入作用下,其输出响应也是有界的。 3、稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的结构和参数，而与初始状态和外作用无关。 临界稳定：若系统在扰动