力学课件3.1.pptVIP

第三章 机械能守恒 §1 功和功率 F 作用 dt 时间的结果是冲量 dP，导致了物体动量的增量 传给质点的动量 本章研究 F 作用于质点，移动Δr 的结果 恒力F 作用于质点，沿直线移动Δr 功 (work) 定义功W：F 在Δr方向的投影 Fcosθ与|Δr|的乘积，亦即Δr 在F方向的投影|Δr|cos(-θ)与F的乘积，定义为力F 对质点所作的功W 如力F与位移的夹角小于90o，则cosθ0，W0，力对物体作正功 如力F与位移的夹角大于90o，则cosθ0，W0，力对物体作负功 在国际单位制 (SI) 中，功的单位为牛顿·米，称之为焦耳 在 CGS 制中，功的单位为尔格 按量纲式 [W]=ML2T-2 1J = 103×(102)2×1-2尔格＝107尔格 对于变力F或对于质点沿曲线移动的情况如何适用? 功W的一般定义： 将曲线轨道划分为许多微小的段落 微小的曲线段可以当作直线段，F 可视为不变 力在小段上对质点作功 dW = F·dr 质点沿曲线从点 1 移动到点 2，力所作的功定义为 dr F 1 2 每一小段无限小 累加的极限是定积分 如将 F 与dr 用直角坐标分量表示： 功W的一般定义 若质点同时受到几个力F1、F2、……、Fn的作用 可将矢量加法改为标量加法 ? 几个力的合力所完成的功等于各个力所分别完成的功的总和 例： ① 质点在地面附近重力场中作高度变化不十分大的运动，求重力对质点所作的功。 dr dr的投影 重力 Fx、Fy 为 0 Fz = -mg ② 质点在地面附近重力场中作高度变化很大的运动，求重力对质点所作的功。 质点高度变化很大 ? 质点所受的重力随高度而变化 距地心ρ处质点所受的重力为 R为地球半径 dr dr的投影 重力 ③ 弹簧沿水平面，一端固定，另一端系一质点，质点在光滑水平面上作直线运动，求弹簧中的弹性力对质点所作的功。 m x 上述例子中，力所作的功只取决于点 1 和点 2 的位置，而与中间所通过的途径无关 从点 1 起，不论是沿途径 1A2 或途径 1B2 到达点 2，力所作的功总是一定的 位矢r处，力的方向是一定的 ? dr 在 F 上的投影方向与路径无关 2 1 B A dr mg 若将力换为摩擦力： 摩擦力 f 的方向沿切线而与质点速度的指向相反 质点位移 dr 投影到 f 的方向，即投影到向“后”的切向 f 方向在不断变化 ? dr 在f上的投影随路径而变 必须考虑路程，不能仅考虑位移 ? dr 在 f 上的投影须微分化，－ds 2 1 B A dr mg f2 f1 摩擦力所做的功取决于路程 途径1A2 与途径 1B2 的曲线距离不同 ? 质点沿1A2 与途径 1B2 运动，摩擦力作功不同 从点1到2的曲线距离 考虑质点沿着闭合途径1A2 B1运行一周过程中力所作的功： 1 2 B A ① 重力与弹性力： ? 质点循闭合途径运行一周，力所作的功为0 ② 摩擦力： ? 质点循闭合途径运行一周，力所作的功并不为0 存在两种不同性质的力：保守力与非保守力 如力所作的功与中间途径无关，或者说，如质点沿闭合途径运行一周，力所作的功为0，这种力就称为保守力 如力所作的功与中间途径有关，或者说，如质点沿闭合途径运行一周，力所作的功不为0，这种力就称为非保守力 保守力与非保守力 保守力的一些充分条件： ① 对于一维运动，凡是位置 x 单值函数的力都是保守力 例如：服从胡克定律的弹性力 ② 对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力 例如：重力 f = mg ③ 若在空间里存在一个中心O，质点 P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP 的单值函数，则这种力叫做“有心力” 例如：万有引力 凡是“有心力”都是保守力 dr 移动线元 ds 时，半径 r 的增量 只与两端点到力心距离rQ、rP有关 与路径L无关 有心力作功可以化作沿任意半径的一维问题 因为保守力作功与路径无关，只与始末位置有关，因此相应地引入了势能的概念 有心力是保守力 时间反演变换 时间反演变换：时间 t ? - t 的变换 保守力具有时间反演对称性 保守力只与相对位置有关 ? 时间反演不变 非保守力不具有时间反演对称性 质点 i 服从牛顿第二定律： 保守力： 数学形式不变 非保守力： 数学形式发生变化 功率 (power) 完成了多少机械工作，做了多少功 完成机械工作的快慢，即作功的效率 定义：单位时间内作的功，叫做功率 所完成的功 W 与完成这些功所用的时间 t 之比称为该时间内的平均功率： 若比值不是