matlab数值分析第三章插值.pptVIP

第三章 插值 插值：插值就是定义一个在特定点取给定值的函数的过程。本章的重点是介绍两个紧密相关的插值函数：分段三次样条函数和保形分段三次插值函数（称为“pchip”） 3.1插值多项式 平面上的任意两点（x1，y1）和（x2，y2）,只要x1≠x2,就为以确定一个关于x的一次多项式,其图形经过这两点。对于这个多项式，有多种不同的公式表达，但它们都对应同一个直线图形。 两个点时，假定给定区间[xk,xk+1]及端点函数值 yk=f（xk），yk+1=f（xk+1），要求线性插值多项式 L1（x），使它满足 L1（xk）=yk，L1（xk+1）=yk+1 y=L1（x）的几何意义就是通过两点(xk，yk)与 （xk+1 ，yk+1) 的直线， L1（x）的表达式可由几何意义直接给出 由两点式可以看出，L1（x）是由两个线性函数 的线性组合得到，其系数分别为yk和yk+1，即 显然， lk（x）及lk+1（x）也是线性插值多项式，在节点xk及xk+1上满足条件 我们称函数lk（x）与lk+1（x）为线性插值基函数。 这种用插值基函数表示的方法推广到一般情形，以下讨论如何构造通过n+1个节点x0x1…xn的n次插值多项式Ln（x），假定它满足条件 若n次多项式lj（x）（j=0,1,…,n）在n+1个节点 x0x1…xn 上满足条件 就称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为节点x0，x1，…，xn上的n次插值基函数。 用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为 显然它满足条件（1）式。于是满足条件（1）的插值多项式Ln（x）可表示为 由lk（x）的定义知 形如（3）式的插值多项式Ln（x）称为拉格朗日插值多项式。 则对于平面上有着不同xk值的n+1个点,（xk，yk）， k=0，1, …,n,存在唯一一个关于x的次数小于n+1的多项式，使其图形经过这些点。 很容易看出，数据点的数目n+1也是多项式系数的个数。尽管，一些首项的系数可能是零，但多项式的次数实际上也小于n。同样，这个多项式，有多种不同的公式表达，但它们都对应同一个直线图形。 这样的多项式称为插值多项式，它可以准确的重新计算出初始给定的数据： 表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日形式 例如，考虑下面一组数据 其中的系数，原则上可以通过求解下面的线性代数方程组得到。 这个线性方程组的系数矩阵记为V，也被称为范德尔蒙（Vandermonde）矩阵，该矩阵的各个元素为 上述范德尔蒙矩阵的各列，有时也按相反的顺序排列，但在MATLAB中，多项式系数向量，通常按从高次幂到低次幂排列。 MATLAB中的函数vander可生成范德尔蒙矩阵，例如对于前面的那组数据， V=vander(x) 生成 V = 0 0 0 1 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 然后，输入命令 c=V\y 计算出插值系数 c = 1.0000 0.0000 -2.0000 -5.0000 能实现各种插值算法的MATLAB函数 它们都采用下面的调用格式 v=interp（x，y，u） 前两个参数，x和y，是长度相同的向量，它们定义了插值 点。第三个参数u，为要计算函数值的范围上的点组成的 向量。输出向量v和u长度相等， 其分量v（k）=interp（x，y，u（k））。 第一个这样的插值函数是polyinterp，它基于拉格朗日形式。 为了解释polyinterp函数的功能，先构造一个间隔很密的求值点向量。 u = -.25:.01:3.25; 然后输入命令 v = polyinterp(x,y,u); plot(x,y,o,u,v,-) 可生成图3-1。 另外一个例子，使用的是本章另一种方法所用的例子 x = 1:6; y = [16 18 21 17 15 12]; disp([x; y]) u = .75:.05:6.25; v = polyinterp(x,y,u); plot(x,y,o,u,v,-); 其运行后的结果为 1 2 3 4 5 6 16 18 21 17 15 12 同时输出3-2。 3.2 分段线性插值 通过两步操作可以绘制出一个简单的图形： 第一步用圆圈在坐标系中标出个数