高校力学经典课件-理论力学II-第8次课new.ppt

内容回顾 第一章 分析力学基础 6 第一类拉格朗日方程 在Lagrange的经典著作中还没有明确的非完整系统的概念。完整系与非完整系的区分是从Hertz开始的。十九世纪末至二十世纪初著名的力学家Appell等对非完整系的动力学作出了基础性的研究工作。最近，关于非完整系动力学的研究又有了进一步的发展，这些发展一方面是为了解决工程技术中某些非完整系的应用，另一方面，在非完整问题的基础研究上也取得了更进一步的成果。 6 第一类拉格朗日方程 第一类拉格朗日方程是应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程。 由于方程式的数目多，求解难度大，所以在一个时期内，其应用价值远小于第二类拉格朗日方程。 目前随着计算机技术的发展，因而计算上的困难已不是难以跨越的问题，同时由于第一类方程易于编程计算，又适用于非完整系统，目前又逐渐被人们所重视。 拉格朗日乘子的物理含义 * * 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程的首次积分：能量积分、循环积分 约束方程为 对完整系统，设由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束 两边取变分 其中 6 第一类拉格朗日方程 引用拉格朗日乘子 在3n个质点坐标中，独立坐标有3n-s个。对于s个不独立的坐标变分，我们可以选取适当的 ，使得变分前的系数为零，而此时独立坐标变分前的系数也应等于零。 6 第一类拉格朗日方程 完整和非完整约束可写成统一的形式 6 第一类拉格朗日方程 6 第一类拉格朗日方程 讨论：拉格朗日第一类方程 未知数个数： 3n个位置坐标+(d+g)个拉格朗日乘子=3n+d+g个 方程个数：3n个 还需要补充d+g个 考虑了完整和非完整约束，第一类拉格朗日方程可以处理完整、非完整问题，更具有普遍性； 代价：增加方程数目，微分代数混合方程。 6 第一类拉格朗日方程 拉格朗日乘子结合约束方程可以完全决定约束反力。 事实上，在给定系统初始条件后， 结合拉格朗日第一类方程及约束方程可以求解系统运动， 然后借助于求出的不定乘子可以决定系统内部的约束力。 例 试求：此系统的运动微分方程。 已知：如图所示的运动系统中，重物 的质量为 ，可沿光滑水平面移动。摆锤 的质量为 ，两个物体用无重杆连接杆长为l。 解： 取系统为研究对象 设质点 的坐标为 质点 的坐标为 则系统的约束方程为 （a） 约束方程对各质点坐标的梯度项 （b） 由 作用在各质点上的主动力为 （d） （c） 第一类拉格朗日方程 （f） 将约束方程两边对时间求二阶导数 （e） 与式（e）式联立， 消去 ，得到系统的运动微分方程 （g） 而 （h） 与矢量力学的运动学方程相对照: 可知 是光滑接触面的约束力; 是二力杆 的内力 * 设质点由个质点组成，含有个完整约束和个非完整约束 将约束方程对坐标变分，可得 选择个不定乘子使得动力学方程中的不独立的坐标变分前的系数为零，而剩下的坐标变分为独立的，其前面的系数也只能为零，于是可得个方程。 引入个不定乘子，并结合约束方程和普遍动力学方程可得: 式中，一般称为拉格朗日乘子。 个直角坐标变分受各约束的限制，因此不独立。独立坐标变分的个数为，而个直角坐标变分中那些是独立的选择并不唯一。 于是总共可以得到个方程，用于求解个坐标和个拉格朗日乘子。 系统内各个质点还满足普遍动力学方程 对第个广义坐标对应的质点，通过牛顿定律列写动力学方程 式中，为约束引起的约束反力。 与第个广义坐标对应的拉格朗日方程对比 例2 质量为的光滑小环套在半径为且固定于铅垂平面内的大圆环上。若开始时，小环位于大圆环水平直径的一端，且速度等于零，试求它在自身重力作用下的运动速度、加速度和它所受的约束反力。