高等数学(2017高教五版)课件二重积分概念(工科类).ppt

注1 由二重积分定义知道, 若 在区域 D 上 可积, 则与定积分情形一样, 时, (4) 式都成立. 选取一些特殊的分割方法, 直线网来分割 D, 则每一小网眼区域的 的面积 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 此时通常把 记作 对任何分割 T, 只要当 因此为方便计算起见, 常 如选用平行于坐标轴的 注2 如定积分那样类似地可证明: 可求面积的 D上可积的必要条件是它在 D上有界. 设函数 在 D 上有界, T 为 D 的一个分割, 把 D 分成 n 个可求面积的小区域 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 作和式 它们分 在 函数 别称为 关于分割 T 的上和与下和. 它 令 二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下 和同样的性质, 这里就不再重复. 函数的可积性定理, 这里只证明其中的定理 21.7. §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 下面列出有关二元 定理 21.4 定理 21.5 定理 21.6 定理 21.7 在 D 上可积的充要条件是: 在 D 上可积的充要条件是: 存在 D 的某个分割 T, 有界闭域 D上的连续函数必可积. 设 是定义在有界闭域 D 上的有界函数, 且其 不连续点集 E是零面积集. §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 在 D 上可积. 则 对于任给的正数 使得 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 二重积分与定积分具有类似的性质, 现列举如下: 且 2. 若 在 D上都可积, 则 1. 若 在 D上可积, k 为常数, 则 在 D 在 D 上也可积, §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 二重积分的性质 上也可积, 且 3. 若 在 和 上都可积, 且 与 无公共 内点, 4. 若 与 在 D 上可积, 则有 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 在 上也可积, 则 且 且 5. 若 在 D 上可积, 则函数 在 D 上 也可积, 6. 若 在 D 上可积, 且 则有 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 这里 是积分区域 D 的面积. 且 7. (积分中值定理) 若 在有界闭域 D 上连续, 则存在 使得 积分中值定理的几何意义: 为顶的曲顶柱体体积, §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 的平顶柱体的体积, 在 D 中某点 处的函数值 在 D 上, 以 等于一个同底 这个平顶柱体的高等于 *例1 设 是 中有界闭域, 是 上 可积函数. 使得 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 其中 是由 所围成的多 边形. 存在顶点在 上的折线 则 证 设 时, 取分割 使得 由于 在 上一致连续, 因此存在 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 令 就有 直线 将 分割为 又将 分割为 §1二重积分概念 平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质 于是 1.设函数 在有界可求面积区域 D 上可积, 求证 在D上有界. 2.设函数 定义在可求面积区域 D 试证 在 上可积的充要 上, 是 内一条光滑曲线. 若 条件是 在 D 上可积. 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存 在性 三、二重积分的性质 二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于: 定积分定义在区间上,区间的 长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上, 其面积的计算要复杂得多. §1 二重积分概念 数学分析 第二十一章 重积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 我们首先定义平面图形的面积. 如果存在一矩形 R , 设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 的网眼 (小闭矩形) 可分为三类: (i) 上的点都是 P