高等数学(2017高教五版)课件场论初步(工科类).ppt

就是旋转的角速度 应用算符 的旋度是 旋度有如下一些基本性质: 这结果表明线速度 的旋度除相差一个常数因子外, 来源. §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 这也说明了旋度这个名称的 2. 若 是数量函数, 是向量函数, 则 这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证. §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 1. 若 是向量函数, 则 式知道, 此时沿任何封闭 曲面的曲面积分都等于零. 中作一向量管 (图22-14), 即由向量线围成的管状的 若一个向量场 的散度恒 为零, 即 我们曾 称 为无源场. 我们又把 称作管量场. 这是因为, 若在向量场 管量场与有势场 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 从高斯公 曲面. 这就得到了由 所围成的封闭曲面S. 用断面 去截它, 以 表示所截出的管的 表面, 于是由(1)式得出 而向量线与曲面 的法线正交, §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 所以 这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是 相同的, 所以把场 称为管量场. 如例2, 由 的梯 度 所成的引力场 是一个管量场. 间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于 若一个向量场 的旋度恒为零, 即 我们在 前面称 为无旋场. §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 从斯托克斯公式知道, 这时在空 零, 这种场也称为有势场. 这是因为当 时,由定理 22.5 推得空间曲线 积分与路线无关, 即 因此若某向量场 的旋度为零, 通常称 u 为势函数. 则必存在某个势函数 u, 使得 , 使得 且存在某函数 这也是一 个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 中, 引力势 就是势函数. 在例1 因为 恒成立, 所以 它也是引力 若一个向量场既是管量场, 又是有势场, 则称这个向 场 是有势场的充要条件. 上述例 2 中讲到的引力场 就是调 所以 和场. 量场为调和场. 即必有势函数 u 满足 这时称函数 u 为调和函数. 显然 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 若 是一个调和场, 则必有 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 一、场的概念 二、梯度场 在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术语和记号, 在此基础上产生了场论. §4 *场论初步 数学分析 第二十二章 曲面积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场 若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 数量场 (或向量场). M 的位置可由坐标确定. 总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数. 重力和速度都是向量场. 等于给定了一个数量函数 在以下讨论中 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 场的概念 后退 前进 目录 退出 例如: 温度和密度都是数量场, 在引进了直角坐标系后, 点 因此给定了某个数量场就 则称在 V 上给定了一个 同理, 每个向量场都与某个向量函数 相对应. 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 在该点的方向一致, 即 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 磁力线等都是向量场线. 则称曲线 L 为向量场 的向量场线. 例如电力线、 注 场的性质是它本身的属