高等数学2017年必威体育精装版课件数学精神与方法第二讲.ppt

对策墨罗的继承、批判和发展 策墨罗不承认由具有给定性质P的对象构成的集合的存在性，除非这些对象已是早先已定义的一个集合的元素。但是，在策墨罗所做研究的一般性水平上，怎样理解“性质”这个词？策墨罗限于说“不管一个性质是否有用，它必须由公理和普遍适用的逻辑规则以非任意的方式确定”。显然，他心中的性质是以直到那时数学家所考虑的性质为典型。培里悖论表明他对“性质”的界定不够精密。 对性质怎样表述适应数学家用法的限制，从而 弗伦克尔（Fraenkel, Adolf Abraham; 1891-1965) ，德国数学家，其工作领域为逻辑和集合论。 避免像培里悖论中的那种寄生式“性质”的陈述？弗伦克尔和斯科朗于1922年提出的解决办法在于在数学的性质或关系的陈述中消除日常语言，代之以形式语言（一种人造符号语言），它由固定一组初始符号按特定方式合成符号“词语”（原子公式），并将“词语”按一套可以避免产生日常语义歧义的硬性文法排列成用于表达性质或关系的陈述（合式公式）。 从康托（1845 —1918）和弗雷格（1848 —1925）到策墨罗（1871---1953）和罗素（1872---1970），再到弗伦科尔（1891---1965）和斯科朗（1887---1963），经过三代 斯科朗（Skolem, Albert Thoralf; 1887-1963），挪威数学家，其工作涉及代数、数论和逻辑学。 人的探索和研究，终于形成了一套用形式语言和公理条款规划的集合理论 —— ZF-系统。集合论的这一公理系统首先由策墨罗于1905年提出，后经弗伦克尔于1920年修改完善而成，因此称作ZF-系统。这一系统是否可以抗击悖论侵袭呢？迄今还没有人在此系统的框架内表述可以引出“悖论”的性质。 当今，绝大多数数学家使用ZF-系统，但通常不明确声明。就数学家所关注内容而言，所有数学分支都可规约到集合论，因而最终都可规约到ZF-系统或ZFC-系统。 理发师悖论 某村庄有一位理发师，他把村里的人分为两类：一类是自己不给自己理发的人；另一类是自己给自己理发的人。基于此，他挂出了一张招牌，上写： “本人只给村中自己不给自己理发的人理发，请自己不给自己理发的人惠顾。” 有人问：“那么您的头发由谁理？” 理发师瞠目结舌，无言以对。 这是罗素于1919年提出来的悖论，所以也叫“罗素悖论”。 上帝是全能的吗？ 甲说：“上帝是全能的。” 乙说：“全能就是什么事都能办到，对吗？那么请问，上帝能造出一个连自己也举不起来的大石头吗？” 甲无法回答了。如果说不能，则上帝就不是全能的。如果说能，则上帝造出的石头上帝自己也举不起来，说明上帝仍然不是全能的。 这个悖论的特点是，上帝能肯定一切，也就能否定一切。但他自己也在这一切之中，所以当他肯定一切的时候，同时也就否定了自己能肯定一切。 唐·吉诃德悖论 　　　　小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。 　　一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。” 　　旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死？如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！ 思考题 叙述皮亚诺的自然数公理系统。 弗雷格-罗素定义的数满足皮亚诺公理吗？ 罗素悖论讲的是什么？策墨罗是怎样消除罗素悖论的？（要求写清楚罗素悖论和策墨罗有限抽象原则） 你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。 Thank you for your attention. * * 、 数学精神与方法 第二讲 有限无限纵横谈（一） §2.1 从自然数谈起 对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是自然数序列： 0，1，2，3，…… 这个我们如此习惯的数学概念，形成却很慢，仅仅在文明的高级阶段，我们才能以其为本，作为我们考察数学的起点。 如果问：自然数是什么? 这可就不那么容易回答了。事情说到根上，看起来简单的问题反而难以回答。 皮亚诺的自然数公理系统 三个基本概念： 0，数，后继 五条公理： 0是一个数。 任何数的后继是一个数。 若两个数不同，则它们的后继也不同。 0不是任何数的后继。 数学归纳法原理。 皮亚诺（ G. Peano ,1858----1932）是意大利数学家、逻辑学家。 注：若n是一个数，则以n+1表示它的后继。 数学归纳法原理