高等数学自学课件11-2.ppt

无穷级数 第二节 正项级数及其审敛法 一 正项级数的概念 二 正项级数的审敛法 定理1 正项级数收敛的充要条件是: 部分和数列 为有界数列. 1.定义: 该级数为正项级数. 如果级数 中各项均有 则称 2.部分和数列的特点: 部分和数列 为单调增加数列. 一 正项级数的概念 定理2（比较审敛法） 即部分和数列有界,由定理1得 收敛. 且 证明 设 注：比较审敛法的缺点是 必须有参考级数. 定理证毕. 发散 不是有界数列 则 且 设 由图可知 设 解 设 则 级数发散. 例1 讨论 级数 的收敛性. 注：重要参考级数 几何级数, P-级数, 调和级数. 即可得 即 有界,则P-级数收敛. 例2 试证明 发散. 证明 故级数 发散 而级数 发散 定理3（比较审敛法的极限形式） 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 当 时 由比较审敛法的推论, 得证. 即 证明 对于 由 定理4（极限审敛法） 解 故所给级数发散. 例4 判别下列级数的敛散性. 而 发散, 而 收敛.故原级数收敛. 而 收敛.故原级数收敛. 定理5（ 比值审敛法、达朗贝尔D’Alembert判别法) 即 当 时,有 证明 当 为有限数时,对 收敛 当 时, 发散 当 时, 取 使 而级数 收敛. 当 时, 取 使 注：1. 比值审敛法的优点是不需要参考级数； 2. 当 时比值审敛法无法判别 但 例如级数 发散,级数 收敛, 例 3.条件是充分的,而非必要. 级数 收敛, 但 不存在. 解 例5 判别下列级数的敛散性. 故该级数收敛. 故该级数发散. 故该级数发散. * *