高等数学自学课件1-3.ppt

第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题 一、函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形： 1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变化过程为 仿照数列极限的定义，给出 时函数的极限的定义. 定义1 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作 或 当 3.(几何解释) 注: 例1 证明 证 因为 为使对于任意给定的正数 ，有 只要 ,所以对任意 ，可取 ， 则当 适合不等式 时，对应的函数 值 就满足不等式 所以 证 例4 讨论单侧极限 2 函数值无限接近于2. 函数值无限接近于2. 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例6 证 结论： 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量 表示 及 ， 对正数 ， 表示 及 . 定义4 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作 另两种情形: 结论： 几何解释: 例4 证 例5 证明 也即 二、函数极限的性质 1.局部有界性 定理 若在某个过程下 , ) ( x f 有极限 , 则存在 过程的一个时刻 , 在此时刻以后 ) ( x f 有界 . 定理 , 2.唯一性 若 ) ( lim x f 存在 则极限唯一 . 定理(保号性) 推论 3.局部保号性 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 证 设 ，则对任意的 ， 总存在 ，当 时，有 又因为 ，则对上述的 ，存在 ， 当 时，有 .由假设 ， .故当 时， .从而有 即 也即函数的子列 收敛.