§5二次型及其标准形.pptVIP

第五节 二次型及其标准型 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 五、小结 例4 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §5 二次型及其标准型 第五章 相似矩阵及二次型 * 二次型及其标准形的概念 二次型的表示方法 二次型的矩阵及秩 化二次型为标准形 小结 称为二次型. 含有n个变量 的二次齐次函数 定义1 当 是实数时， f 称为实二次型. 当 是复数时， f 称为复二次型. 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 1．用和号表示 对二次型 取 于是 则 2．用矩阵表示 其中A为对称矩阵. 则二次型可记为 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对 称矩阵， 也可唯一地确定一个二次型． 这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A称为二次型f 的矩阵; f 称为对称矩阵A的二次型； 对称矩阵A的秩称为二次型f 的秩. 解 例１ 写出二次型 的矩阵. 设 四、化二次型为标准形 对于二次型， 我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换， 将二次型化为标准形． 记 则上述可逆线性变换可记为 代入 有 证明 即 为对称矩阵. 定义 设A和B是n阶方阵， 若有可逆矩阵C， 使 则称A与B合同。 定理1 任给可逆矩阵C， 若A为对称矩阵， 则B也为对称矩阵， 且有 令 A为对称矩阵， 既有 于是 说明 1.二次型经可逆线性变换 后秩不变， 但二次型的矩阵由A变为 2.要使二次型f 经可逆变换 变为标 准型， 就是使 也就是使 成对角阵. 由于对任意的实对称矩阵A， 使 即 把此结论应用于 二次型，有 定理2 任给二次型 总有正交变换 使f 化为标准形 其中 是f 的矩阵A的特征值. 总有正交矩阵P, 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1.写出二次型的矩阵A； 2.求出A的所有特征值 3.求出对应于特征值的特征向量 4.将特征向量 正交化，单位化， 得 记 5.作正交变换 则f 的标准形为 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 将二次型 通过正交变换化为标准形. 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 当 时， 解方程 得基础解系 取 当 时， 解方程 得基础解系 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 令 得 所以 于是所求正交变换为 且有 解 例3 求一个正交变换 把二次型 化为标准形. 二次型的矩阵为 它的特征多项式为 二、三、四行分别减去第一行，得 于是A的特征值为 解方程 当 时， 得基础解系 单位化得 解方程 当 时， 得正交的基础解系 单位化即得 于是正交变换为 且有 1.实二次型的化简问题， 在理论和实际中经常遇到， 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系， 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵， 而这是已经解决了的问题. 2.实二次型的化简， 并不局限于使用正交矩阵， 根据二次型本身的特点， 可以找到某种运算更快 的可逆变换． 下一节，我们将介绍另一种方法—— 格朗日配方法． 曲面. 求一正交变换， 化为标准型， 表示何种二次 并指出 将二次型