两个自由度体系的自由振动.ppt

例4-4 试求图10-42a所示体系的动位移和动弯矩的幅值图。已知：m1=m2=m, EI=常数，θ=0.6ω1 解： （1）例4-2中已经求出柔度系数和基本频率。 所以 （2）作MP图，与例4-2中的 图乘，得： （3）计算D0、D1和D2： （4）计算位移幅值，得： 位移幅值图如图10-43c所示。 （5）计算惯性力幅值 （6）计算质点1、2的动弯矩幅值 体系所受动力荷载及惯性力的幅值，如图10-43b所示。据此可求出反力及弯矩幅值。 （7）计算质点1的位移、弯矩动力系数 多自由度体系 §4-1 两个自由度体系的自由振动 多层房屋振动不等高排架振动。。。。 多自由度体系 简化 多自由度体系 建立运动方程 刚度法（平衡方程） 柔度法（位移协调） 1.刚度法 无阻尼自由振动微分方程 取质量 和 作隔离体 隔离体 1.惯性力 和 2.弹性力 和 根据达朗伯原理，列平衡方程 图10-30c中，结构所受的力 、 与结构的位移 、 之间满足刚度方程。 (a) (b) 式（b） 式（a）,得： 是结构的刚度系数（图10-30d） 代入 (4-1) (4-1) 两个自由度无阻尼体系的自由振动微分方程 求解： 假设两个质点为简谐振动，则式(4-1)的解可设： (c) 式(c)所示运动的特点: 1)在运动过程中，两质点具有相同的频率和相同的相位角， 和 是位移幅值； 2）两质点的位移在数值上随时间而变化，但二者比值始终保持不变。 即 这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。 式（c）代入式（4-1），得： (4-2) 和 不全为零的解答，则： (4-3a) 式(4-3a)称为频率方程或特征方程，可求频率。 将式（4-3a）展开： （4-3b) （4-4) 可见：具有两个自由度的体系有两个自振频率。 其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率。 ：第二圆频率。 由自振圆频率 和 ，确定它们各自相应的频率。 代入 （4-2） 这个比值确定的振动形式：第一圆频率 相对应的振型，称为第一振型或基本振型。 第一振型中质点1的振幅 第一振型中质点2的振幅 同样，由 （4-5a） 第二振型中质点1的振幅 得： （4-5b） 第二振型中质点2的振幅 求出的两个振型分别如图10-31b、c 在一般情况下，两个自由振动体系的自由振动可看作是两个频率及其主振型的组合振动，即， 方程（4-1）的全解 从以上的讨论中，归纳： （1）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系 的全部自振频率及其相应的主振型。 （2）两个（多个）自由度体系的自振频率不止一个，其个数与自由度 的个数相等。自振频率可由特征方程求出。 （3）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系 能够按单自由度振动时所具有的特定形式。 （4）与单自由度系统相同，多自由度的自振频率和主振型也是本身的 固有性质。 例4-1 图10-32a所示两层刚架、其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，第一、第二层的质量分别为m1、m2。层间侧移刚度分别为k1 、k2,即层间产生单位相对侧移时候所施加的力，如图10-32b所示。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。 解：由图10-32c和d可求 出结构的刚度系数： 将刚度系数代入到 式（4-3b）,得： （a） 分两种情况讨论： （1）当 时， 由此求得： 此时式（a）变为 求主振型时，可由式（4-5a）和（4-5b）求出振幅比值，从而画出振型图。 第一主振型 第二主振型 如图10所示-33 （2）当 时， 代入式（4-5a）和（4-5b），可求出主振型： 由此求得： 此时式（a）变为 如当n=90时， 由此可知，当顶部质量和刚度突然变小时，顶部位移比下部位移大很多。建筑结构中，这种因顶部质量和刚度突然变小，在振动中引起巨大反响的现象，称为鞭稍效应。 2.柔度法 思路：在自振运动中的任一时刻 ，质量 、 的位移 、 应当等于体系在当时惯性力 、 作用下所产生的静力位移。据此可列方程如下： （4-6） 柔度系数 下面求微分方程（4-6）的解。仍设解为如下形式： 这里，假设多自由度体系按某一主