【全程复习方略】（福建专用）2014版高考数学 分类题库考点10 数列的综合应用（2011年）理 人教版.doc

考点10 数列的综合应用 解答题 1. （2011·湖北高考理科·T19）的前项和为，且满足： ， N*，. （1）求数列的通项公式. （2）若存在 N*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论. 【思路点拨】(1)利用，将转化为，再分与 两种情况求解.（2）时易证明；时，由“存在使得成等差数列”可得，据此可求出，最后可证明，即对任意的且时，有成等差数列. 【精讲精析】⑴由已知，可得，两式相减可得 即，又， 所以时，数列为： 当且时，由已知，所以， 于是由，可得， 成等比数列， 综上，数列的通项公式为 ⑵对于任意的N*，且，，，成等差数列.证明如下 ： 当时，由⑴知， ∴对于任意的N*，，且，，，成等差数列. 当，时，∵，. 若存在，使得成等差数列，则， ∴，即， 由⑴知，的公比，于是对于任意的N*，，且， ，从而， ∴，即成等差数列. 综上，对于任意的且时，有成等差数列. 2.（2011·湖北高考文科·Ｔ17），由已知条件可构造含有的方程组求解.(2)由先求出，再利用定义证明数列是等比数列. 【精讲精析】(1)设等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d. 依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5. 所以中的b3,b4,b5依次为7-d，10,18+d. 依题意，有(7-d)(18+d)=100，解得d=2或d=-13(舍去). 故的第3项为5，公比为2. 由b3=b1·22，即5=b1·22，解得. 所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为： . (2)数列的前n项和，即. 所以，. 因此数列是以为首项，公比为2的等比数列. 3．（2011·全国高考理科·Ｔ20）设数列满足且 （1）求的通项公式. （2）设 【思路点拨】解本题关键是由式子得到是等差数列，进而可求出数列的通项公式.（2）问先求出的通项公式，注意观察能采用裂项相消的方式求和. 【精讲精析】 (1) 是公差为1的等差数列，所以 所以. (2)， . 4.（2011·上海高考理科·T22）已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列 （1）写出. （2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为. （3）求数列的通项公式. 【思路点拨】本题考查数列有关知识，利用两个等差数列，组合成一个新的数列，进而考查新数列的性质，以及求其通项公式，紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键. 【精讲精析】（1）对数列，依次是9，12，15，18，21,… 对数列，依次是9，11，13，15，17，19，21,…，所以，，，. 表示的是从12开始的所有的能被6整除的数，当然能被2整除，而表示的是从9开始的所有奇数，故均不在中；再证明：项均在中，，表示的是从9开始除以6余3的数，故都是奇数，而表示的是从9开始的所有奇数，故项均在中，这就证明了在数列中但不在数列中的的项恰好是所有的偶数项. 根据上面的讨论可知6是数列在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6个自然数中，第一项一定是与的公共项，第二项不存在于中，第三项一定是中的项，第四项一定是中的项，第五项是中的项，第六项不在中，这样的话数列是以4为截取周期的，故的通项公式是 5.（2011·上海高考文科·T23）已知数列和的通项公式分别为，.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列 （1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项. （2）数列中有多少项不是数列中的项？请说明理由. （3）求数列的前项和. 【思路点拨】本题考查数列的有关知识，利用两个等差数列，组合成一个新的数列，进而考查新数列性质，以及求其通项公式，紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键. 【精讲精析】（1）显然表示的是从9开始能被3整除的所有的正整数，bn=2n+7表示从9开始的所有奇数，故最小的三个数为9，15，21. 可知6是数列在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6项自然数中，第一项一定是与的公共项，第二项不存在于中，第三项一定是中的项，第四项一定是中的项，第五项是中的项，第六项不在中，这样的话数列是以4为截取周期的，故的通项公式是. ∴c1，c2，c3，…，c40中有10项不是数列中的项. （3）因为=， 故. 6.（2011·四川高考文科·Ｔ20） 已知是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和. （1）当成等差数列时，求的值. (2)当成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列. 【思路点拨】（1）直接利用求公比. (2)当时，显然成等差数列. 当时，即为 可得再证明成立. 【精讲精析】（1）由已知得 ∴ 当成等差数列时，，