【全程复习方略】（福建专用）2014版高考数学 分类题库考点11 数列的综合应用（2012年）理 人教版.doc

考点11 数列的综合应用 一、解答题 1.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）（12分）函数f，定义数列如下：，是过两点，的直线与轴交点的横坐标. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求数列的通项公式. 【解题指南】本题（Ⅰ）先求出直线的方程，然后利用数学归纳法进行证明，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的相关结论写出数列的递推公式，根据递推公式的结构特征，构造新数列，求数列的通项公式. 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明2 xn＜xn+1＜3. （ⅰ）当时，，直线的方程为， 令，解得，所以. （ⅱ）假设时，结论成立，即， 直线的方程为， 令，解得. 由归纳假设知， ， ， 即. 所以， 即当时，结论成立. 由（ⅰ）（ⅱ）知，对于任意的正整数，成立. （Ⅱ）由（Ⅰ）及. 设，则，， 数列是首项为，公比为的等比数列. 所以， 即数列的通项公式为. 2.（2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ18）(12分)已知数列中，，前n项和. (Ⅰ)求,. (Ⅱ)求的通项公式. 【解题指南】由，求；由，求出；求的通项公式时利用，导出与之间的关系，根据递推公式的特点，求通项公式. 【解析】（Ⅰ），， .又， . (Ⅱ) 由题设知，. 当时，. . . 以上个式子的两端分别相乘，得到, 又∵ ∴. 3.（2012·重庆高考理科·Ｔ21）设数列的前项和满足 其中. (1)求证: 是首项为1的等比数列; (2)若,求证:,并给出等号成立的充要条件. 【解题指南】利用已知条件及数列前n项和的性质可证明为等比数列.可利用数学归纳法证明第(2)问. 【解析】(1)方法一:由,得,即, 因为,故得. 又由题设条件知,, 两式相减得,即, 由,知,因此. 综上, 对所有的成立,从而是首项为1,公比为的等比数列. 方法二:用数学归纳法证明. 当时, 由,得,即, 因为,故所以结论成立. 假设当时,结论成立,即那么 这就是说,当时,结论也成立. 综上可得,对任意的,因此是首项为1,公比为的等比数列. (2)方法一:当或时,显然成立. 设且.由(1)知所以要证的不等式化为 , 即证:. 当时,上面不等式的等号成立. 当时,与同为负; 当时,与同为正. 因此当且时,总有,即 , 上面不等式对从到求和得 由此得 综上,当时,有,当且仅当或时等号成立. 方法二:当或时,显然成立. 当时, 也成立. 当时,由(1)知.下证: 当时,上面不等式化为, 令 当时,故 即所要证的不等式成立. 当时,对求导得 其中 则 即是上的减函数,故从而 进而是上的增函数,因此所要证的不等式成立. 当时,令则,由已证的结论知 两边同乘以得所要证的不等式. 综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立. 4.（2012·四川高考理科·Ｔ20）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立. （Ⅰ）求，的值；，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值. 【解题指南】（Ⅰ）直接把代入，构造关于，的方程组求解； （Ⅱ）先求出数列的通项公式，再求数列的通项公式，由对数的运算性质，可知数列为单调递减的等差数列，把所有正项求和即可. 【解析】（）取n=1,得 ① 取n=2,得 ② 又②-①，得 ③ 若a2=0, 由①知a1=0, 若a2, ④ 由①④得 综上可得，a1=0，a2=0或. （）当a10时,由（I）知 当, (2+)an-1=S2+Sn-1 所以an=, 所以. 令.所以数列{bn}是单调递减的等差数列）， 从而 b1b2…b7=， 当n≥8时，bn≤b8=， n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为 T7=）的前项和为，常数，且对一切正整数都成立. （Ⅰ）求数列的通项公式；，，当为何值时，数列的前项和最大？ 【解析】（Ⅰ）取n=1,得 若a1=0,则s1=0, 当n 若a1 当n两式相减得an-2an-1=an，所以an=2an-1（n≥2）,从而数列{an}是等比数列an=a1·2n-1=综上，a1 = 0时, 当a1 . （Ⅱ）当a10且所以{bn}是单调递减的等差数列（公差为-lg2） b1b2…b6=， 当n≥7时，bn≤b7=故数列{lg}的前6项的和最大.