【全程复习方略】（福建专用）2014版高考数学 分类题库考点22 简单多面体与球（2010年）理 人教版.doc

考点22 简单多面体与球 1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段,分别与球面交于点，，那么,两点间的球面距离 是（ ） （A） （B） （C） （D） 【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力. 【思路点拨】欲求,两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求的弧度数，进而转化为求线段的长度.∵题目中所给条件大多集中在内， 故探求与的数量关系. 【规范解答】选A . 连结，∵为球的直径，∴ ， 在中， 由射影定理可得.则. 同理，连结,则△ABM≌△ABN,则,又, ∴∥.∴, 即. 在三角形中, OM=OM=R, 利用余弦定理可得： ，∴,∴M,N两点间的球面距离为. 2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为2的球面上有A，B，C，D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（ ） (A) (B) (C) (D) 【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【思路点拨】当时体积最大，选择合适的底和高，利用三棱锥体积公式求解. 【规范解答】选B.方法一： 当时，体积最大，如图： 过作平面，使, 交与点,设点到的距离为, 则有,当直径通过与的中点时,,故. 方法二：如图：当异面直线与间的距离最大，且时， 四面体的体积最大，分别取与的中点，， 连结，此时球心为线段的中点，则.. 3．（2010·湖北高考理科·Ｔ13）圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm. 【命题立意】本题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力． 【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为8cm的水的体积即为3个球的体积和。 【规范解答】设球的半径为，则圆柱形容器的高为6，容积为，高度为8cm的水的体积为，3个球的体积和为，由题意-=解得. 【答案】4 4. （2010·江西高考文科·Ｔ１６）长方体的顶点 均在同一个球面上，，，则，两点间 的球面距离为 . 【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识，考查多面体与球体的内接问题，考查球面距离问题，考查空间想象力． 【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径，再求球心角，最后由弧长公式求两点间的球面距离. 【规范解答】设球的半径为，则设球心为，则，所以所求A,B两点间的球面距离为 【答案】 5. （2010·上海高考理科·Ｔ１2）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC,OD折叠，使OA,OB重合，则以A（B）,C,D,O为顶点的四面体的体积为 ． 【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法． 【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状，再由体积公式求体积． 【规范解答】折叠后的图形如图所示, ∵，∴. ∴为四面体的高， ∴ ． 【答案】 【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后，变与不变的量．一般在折线同侧的量（包括角和距离）不变，跨过折线的量要改变． 6.（2010·上海高考文科·Ｔ6）已知四棱锥的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱锥的体积是 ． 【命题立意】本题考查棱锥的体积公式的应用，属容易题． 【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解． 【规范解答】=96. 【答案】96 7. （2010·上海高考文科·Ｔ20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）; (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值、几何体的三视图等相关知识. 【思路点拨】（1）建立关于的函数，根据函数的性质求最值； （2）确定几何体的有关数据后，按三视图的要求画图． 【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为，则，所以 所以(1.2-2r)． 所以，当时S有最大值． 最大值为（平方米） （2）由（1）知时，其正视图与侧视图均为边长是0.6的正方形，俯视图是半径为0.3的圆．如图： 8. （